Plano de Aula | Metodologia Tradicional | Inequação Logarítmica

Objetivos

Duração: 10 - 15 minutos

A finalidade desta etapa é introduzir aos alunos o tema das inequações logarítmicas, estabelecendo uma base sólida para que compreendam os conceitos fundamentais e desenvolvam as habilidades necessárias para resolver esse tipo de problema. Essa etapa inicial visa assegurar que os alunos estejam preparados para acompanhar as explicações e exemplos subsequentes de forma eficaz.

Objetivos principais:

1. Apresentar o conceito de inequações logarítmicas e suas propriedades básicas.

2. Ensinar os passos necessários para resolver inequações logarítmicas simples e complexas.

3. Fornecer exemplos práticos para ilustrar a resolução de inequações logarítmicas, como log(x) + 3 > log(25).

Introdução

Duração: 10 - 15 minutos

A finalidade desta etapa é introduzir aos alunos o tema das inequações logarítmicas, estabelecendo uma base sólida para que compreendam os conceitos fundamentais e desenvolvam as habilidades necessárias para resolver esse tipo de problema. Essa etapa inicial visa assegurar que os alunos estejam preparados para acompanhar as explicações e exemplos subsequentes de forma eficaz.

Contexto

Inicie a aula explicando que as inequações logarítmicas são uma extensão das inequações que os alunos já conhecem, mas envolvendo logaritmos. Destaque que logaritmos são ferramentas matemáticas poderosas utilizadas para simplificar multiplicações e divisões em somas e subtrações, o que é extremamente útil em várias áreas da ciência e engenharia. Para tornar a explicação mais concreta, mencione que logaritmos são frequentemente usados em cálculos de crescimento populacional, intensidade de terremotos (escala Richter) e em finanças, como no cálculo de juros compostos.

Curiosidades

Você sabia que a escala Richter, que mede a magnitude dos terremotos, é uma escala logarítmica? Isso significa que cada incremento de 1 na escala representa um aumento de dez vezes na amplitude do terremoto. Portanto, um terremoto de magnitude 6 é dez vezes mais forte que um de magnitude 5. Isso mostra como os logaritmos podem ajudar a representar grandes variações de forma mais compreensível.

Desenvolvimento

Duração: 40 - 50 minutos

A finalidade desta etapa é aprofundar a compreensão dos alunos sobre as inequações logarítmicas, desenvolvendo habilidades práticas para resolver este tipo de problema. Através de explicações detalhadas, exemplos práticos e a resolução orientada de questões, os alunos poderão consolidar seus conhecimentos e aplicar as propriedades dos logaritmos de forma eficaz.

Tópicos Abordados

1. Definição de Inequação Logarítmica: Explique que inequações logarítmicas são aquelas que envolvem logaritmos em suas expressões. Destaque a diferença entre equações logarítmicas e inequações logarítmicas, enfatizando a presença de sinais de desigualdade (> , < , ≥ , ≤). 2. Propriedades dos Logaritmos: Relembre as propriedades básicas dos logaritmos, tais como: log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a - log b, e log(a^b) = b log a. Essas propriedades são úteis na simplificação e resolução de inequações logarítmicas. 3. Domínio das Inequações Logarítmicas: Explique que para resolver inequações logarítmicas, é crucial determinar o domínio da função logarítmica. A função logarítmica é definida apenas para argumentos positivos, ou seja, log a é definido se e somente se a > 0. 4. Isolamento do Logaritmo: Aborde a importância de isolar o logaritmo em um dos lados da inequação para facilitar a resolução. Mostre como transformar a inequação logarítmica em uma inequação exponencial, quando necessário. 5. Exemplos Práticos e Resolução Passo a Passo: Apresente exemplos de inequações logarítmicas simples e complexas, resolvendo-as passo a passo no quadro. Inclua exemplos como: log(x) + 3 > log(25), log(2x - 5) ≤ log(3x + 1), e log(x^2 - 1) > 2.

Questões para Sala de Aula

1. Resolva a inequação logarítmica: log(x - 2) ≥ log(3x - 5). 2. Determine o conjunto solução da inequação: log(2x + 1) < log(5x - 4). 3. Verifique se x = 10 é solução da inequação logarítmica: log(x + 3) > log(2x - 1).

Discussão de Questões

Duração: 20 - 25 minutos

A finalidade desta etapa é revisar e consolidar o entendimento dos alunos sobre a resolução de inequações logarítmicas, garantindo que eles compreendam os passos e as técnicas aplicadas. A discussão detalhada das questões resolvidas permite que os alunos identifiquem e corrijam possíveis erros e fortaleçam sua habilidade de resolver problemas semelhantes de forma autônoma.

Discussão

•  Questão 1: Resolva a inequação logarítmica: log(x - 2) ≥ log(3x - 5).

• Passo 1: Identifique o domínio das funções logarítmicas. Para log(x - 2) e log(3x - 5) serem definidos, é necessário que x - 2 > 0 e 3x - 5 > 0. Portanto, x > 2 e x > 5/3. Como x > 2 é a condição mais restritiva, o domínio é x > 2.

• Passo 2: Como os logaritmos estão na mesma base e têm o mesmo argumento, podemos comparar diretamente os argumentos: x - 2 ≥ 3x - 5.

• Passo 3: Resolva a inequação: x - 2 ≥ 3x - 5 → -2 + 5 ≥ 3x - x → 3 ≥ 2x → x ≤ 3/2. No entanto, isso entra em conflito com o domínio x > 2.

• Conclusão: Não há solução para essa inequação no intervalo permitido pelo domínio.

•  Questão 2: Determine o conjunto solução da inequação: log(2x + 1) < log(5x - 4).

• Passo 1: Identifique o domínio das funções logarítmicas. Para log(2x + 1) e log(5x - 4) serem definidos, é necessário que 2x + 1 > 0 e 5x - 4 > 0. Portanto, x > -1/2 e x > 4/5. Como x > 4/5 é a condição mais restritiva, o domínio é x > 4/5.

• Passo 2: Como os logaritmos estão na mesma base e têm o mesmo argumento, podemos comparar diretamente os argumentos: 2x + 1 < 5x - 4.

• Passo 3: Resolva a inequação: 2x + 1 < 5x - 4 → 1 + 4 < 5x - 2x → 5 < 3x → x > 5/3.

• Conclusão: A solução é x > 5/3, considerando o domínio original x > 4/5.

•  Questão 3: Verifique se x = 10 é solução da inequação logarítmica: log(x + 3) > log(2x - 1).

• Passo 1: Substitua x = 10 na inequação: log(10 + 3) > log(2*10 - 1).

• Passo 2: Calcule os valores: log(13) > log(19).

• Passo 3: Como log(13) < log(19), então x = 10 não é solução da inequação.

Engajamento dos Alunos

1. 樂 Pergunta 1: Qual é a importância de determinar o domínio das funções logarítmicas antes de resolver a inequação? 2. 樂 Pergunta 2: Como a transformação de uma inequação logarítmica em uma inequação exponencial pode ajudar na resolução? 3. 樂 Pergunta 3: Existem outras situações em que logaritmos são utilizados no dia a dia? Cite exemplos. 4.  Reflexão: Qual foi a etapa mais desafiadora ao resolver as inequações logarítmicas apresentadas? Por quê?

Conclusão

Duração: 10 - 15 minutos

A finalidade desta etapa é revisar os principais pontos abordados durante a aula, consolidar o conhecimento adquirido e reforçar a importância e aplicabilidade prática das inequações logarítmicas, assegurando que os alunos tenham uma compreensão clara e completa do conteúdo.

Resumo

• Definição de inequações logarítmicas e distinção entre equações e inequações logarítmicas.
• Propriedades básicas dos logaritmos, como log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a - log b, e log(a^b) = b log a.
• Importância de determinar o domínio das funções logarítmicas.
• Técnicas de isolamento do logaritmo em inequações.
• Exemplos práticos e passo a passo na resolução de inequações logarítmicas.

A aula conectou a teoria das inequações logarítmicas com a prática ao apresentar exemplos detalhados e resolver, passo a passo, questões que ilustram a aplicação das propriedades dos logaritmos. Isso permitiu que os alunos visualizassem como as técnicas teóricas são aplicadas na resolução de problemas reais.

O estudo das inequações logarítmicas é fundamental, pois logaritmos são amplamente utilizados em diversas áreas, como na medição da intensidade de terremotos, no cálculo de juros compostos e em análises de crescimento populacional. Compreender essas inequações ajuda os alunos a resolver problemas práticos e entender fenômenos do dia a dia de forma mais precisa e eficiente.