Para resolver essa questão, primeiramente é necessário entender o que é uma equação quadrática e seu formato geral, que é ax² + bx + c = 0. Neste caso, temos a equação x² - kx + 37 = 0, onde a = 1, b = -k e c = 37. Sabemos que a equação possui duas raízes naturais. Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau: x = (-b ± √Δ) / 2a, onde Δ = b² - 4ac. Como ambas as raízes são naturais, o discriminante Δ também deve ser um quadrado perfeito (um número cuja raiz quadrada é um número inteiro). Vamos calcular o discriminante: Δ = (-k)² - 4 * 1 * 37 Δ = k² - 148 Agora, devemos encontrar um valor de k que torne Δ um quadrado perfeito. Vamos testar cada uma das alternativas: 1. k = 38: Δ = 38² - 148 = 1444 - 148 = 1296 A raiz quadrada de 1296 é 36, ou seja, um número inteiro. Logo, Δ é um quadrado perfeito. 2. k = 40: Δ = 40² - 148 = 1600 - 148 = 1452 A raiz quadrada de 1452 não é um número inteiro, portanto Δ não é um quadrado perfeito. 3. k = 39: Δ = 39² - 148 = 1521 - 148 = 1373 A raiz quadrada de 1373 não é um número inteiro, portanto Δ não é um quadrado perfeito. 4. k = 37: Δ = 37² - 148 = 1369 - 148 = 1221 A raiz quadrada de 1221 não é um número inteiro, portanto Δ não é um quadrado perfeito. 5. k = 41: Δ = 41² - 148 = 1681 - 148 = 1533 A raiz quadrada de 1533 não é um número inteiro, portanto Δ não é um quadrado perfeito. Portanto, a única alternativa que torna Δ um quadrado perfeito é k = 38.