(Originais Teachy 2024) - Questão Difícil de Matemática

Considere que um satélite em órbita ao redor da Terra descreve uma trajetória que pode ser modelada pela equação de uma hipérbole no sistema de coordenadas retangulares, com o centro da Terra na origem. Dados os focos F1 e F2 de uma hipérbole, juntamente com o ponto P através do qual o satélite passa, determinamos que a distância do ponto P a um dos focos é de 7000 km e a distância do ponto P ao outro foco é de 9000 km. Além disso, sabemos que a excentricidade da hipérbole é a raiz quadrada de 2. Utilizando esse contexto físico e conhecimentos de geometria analítica, responda: 1) Calcule a distância focal e a equação da hipérbole no sistema de coordenadas. 2) Com base na equação da hipérbole, determine as coordenadas dos vértices e dos pontos de interseção com o eixo transverso. Explique como a solução encontrada se relaciona com as propriedades de cônicas e com a mecânica celeste.