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Questão sobre Geometria Espacial: Princípio de Cavalieri

Matemática

Originais Teachy

'EM13MAT316'

Geometria Espacial: Princípio de Cavalieri

Média

(Originais Teachy 2023) - Questão Média de Matemática

Durante uma viagem em família, vocês fazem uma parada em um parque ecológico onde há duas lagoas de formatos diferentes: uma lagoa tem formato de cilindro com altura h1 e base com raio r1 e a outra lagoa tem formato de prisma retangular com altura h2, comprimento L e largura W. Observando as lagoas, você se lembra do Princípio de Cavalieri e decide comparar o volume de água das duas lagoas. (a) Considerando que as lagoas têm a mesma altura (h1 = h2), mostre que se o volume de água das duas lagoas é igual, então a área da base do prisma retangular é igual à área da base do cilindro. (b) Com base na relação encontrada no item (a), em que condições (valores de L e W) seria possível afirmar que a base do prisma retangular tem a mesma área da base do cilindro com raio r1 = 2 metros? (c) Se a lagoa em formato de cilindro tem altura de 4 metros e raio de base de 3 metros, e a lagoa em formato de prisma tem a mesma altura, 4 metros, e dimensões da base 2 metros e 3 metros, as lagoas possuem o mesmo volume de água? Justifique sua resposta usando o Princípio de Cavalieri.

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Um engenheiro civil está projetando duas estruturas de concreto: um bloco retangular e um cilindro, ambos com o mesmo volume. O bloco retangular tem dimensões de 6 metros de comprimento, 4 metros de largura e uma altura desconhecida 'h', enquanto o cilindro tem uma altura de 'h' metros e um raio de 2 metros. Utilizando o Princípio de Cavalieri, determine a altura 'h' do bloco retangular de modo que ele tenha o mesmo volume que o cilindro. Em seguida, discuta como a comparação de volumes usando o Princípio de Cavalieri pode ser útil na prática da engenharia civil, fornecendo um exemplo de aplicação onde o uso desse princípio pode levar a economias significativas de materiais ou otimizações de projeto.

Geometria Espacial: Princípio de Cavalieri • 'EM13MAT316'

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Considere um cubo de aresta 'a' e um paralelepípedo retângulo com a mesma altura 'a', base quadrada e aresta 'a' na direção da altura, e as outras duas dimensões sendo 'b' e 'c', respectivamente. Utilizando o Princípio de Cavalieri, demonstre que o volume do cubo é igual ao volume do paralelepípedo retângulo. Considere que o Princípio de Cavalieri afirma que se duas regiões do espaço têm seções transversais iguais por toda parte, então elas têm o mesmo volume, mesmo que as seções transversais não estejam no mesmo plano. Além disso, assuma que a base quadrada do paralelepípedo retângulo pode ser rotacionada para coincidir com uma das faces do cubo, mantendo o mesmo volume. Descreva detalhadamente como as seções transversais dos sólidos se relacionam e como aplicar o Princípio de Cavalieri para concluir que os sólidos têm volumes iguais.

Geometria Espacial: Princípio de Cavalieri • 'EM13MAT316'

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