Objetivos (5 - 7 minutos)

1. Compreender o conceito de função trigonométrica e suas propriedades, com ênfase na definição de entradas (ângulos) e saídas (valores das razões trigonométricas).
2. Desenvolver a habilidade de calcular e interpretar as razões trigonométricas em diferentes quadrantes do círculo trigonométrico.
3. Praticar a aplicação de funções trigonométricas em problemas reais, como o cálculo de altura de um objeto inacessível.

Objetivos Secundários:

1. Estimular a capacidade de raciocínio lógico e abstrato dos alunos, através do estudo de funções trigonométricas.
2. Promover o trabalho em equipe e a discussão colaborativa, por meio da resolução de problemas práticos em grupos.
3. Incentivar a autonomia e a responsabilidade pelo próprio aprendizado, através do estudo prévio do conteúdo e da participação ativa durante a aula.

Introdução (10 - 15 minutos)

1. Revisão de conteúdos anteriores: O professor inicia a aula relembrando os conceitos de seno, cosseno e tangente, e como eles são calculados no círculo trigonométrico. Pode ser útil fazer uma rápida revisão de funções, pois elas serão a base para o novo conteúdo. O professor pode propor alguns exercícios rápidos para a turma relembrar e praticar esses conceitos. (3 - 5 minutos)

2. Situações-problema: O professor apresenta duas situações-problema que envolvem o uso de funções trigonométricas. A primeira pode ser o cálculo da altura de um prédio, utilizando a sombra que ele projeta no chão e o ângulo de incidência da luz. A segunda pode ser o cálculo da distância entre dois pontos inacessíveis em um terreno, utilizando um teodolito e a trigonometria. O professor pede aos alunos para pensarem em como resolver esses problemas e anotarem suas ideias. (5 - 7 minutos)

3. Contextualização: O professor explica que as funções trigonométricas são usadas em diversas áreas do conhecimento, como engenharia, física, arquitetura, geografia, entre outras. Ele pode dar exemplos práticos, como o uso da trigonometria para calcular a trajetória de um foguete, a altura de uma montanha, a inclinação de um telhado, etc. Ele também pode mencionar que as funções trigonométricas são usadas em diversas tecnologias, como GPS, sonares, radares, etc. (2 - 3 minutos)

4. Introdução ao tópico: O professor apresenta o conceito de função trigonométrica, explicando que ela associa a cada ângulo de um círculo trigonométrico um valor numérico (a razão trigonométrica). Ele explica que o círculo trigonométrico é dividido em quatro quadrantes, e que as razões trigonométricas têm valores diferentes em cada quadrante. O professor também menciona que as funções trigonométricas são periódicas, ou seja, seus valores se repetem a cada 360º (ou 2π radianos). Ele pode ilustrar esses conceitos com o auxílio de um desenho ou de um modelo físico do círculo trigonométrico. (5 - 7 minutos)

Desenvolvimento (20 - 25 minutos)

1. Apresentação da teoria (10 - 12 minutos):

   1.1. O professor introduz a definição formal de função trigonométrica, explicando que ela é uma relação entre os ângulos e as razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Ele pode apresentar a função seno como exemplo, mostrando que para cada ângulo no círculo trigonométrico, há um valor correspondente de seno.

   1.2. Em seguida, o professor explica a ideia de "entrada" e "saída" em uma função trigonométrica. Ele pode usar uma analogia com uma máquina, onde o ângulo de entrada é inserido e a razão trigonométrica correspondente é a saída. Ele deve enfatizar que, em uma função trigonométrica, a entrada é sempre um ângulo e a saída é sempre uma razão trigonométrica.

   1.3. O professor continua explicando que as funções trigonométricas têm um domínio (conjunto de todos os ângulos possíveis) e um contradomínio (conjunto de todos os valores possíveis para as razões trigonométricas). Ele deve também mencionar que o conjunto imagem de uma função trigonométrica é o conjunto de todos os valores que a função realmente assume.

   1.4. O professor então passa a explicar as características das funções trigonométricas: que elas são periódicas, que têm valores diferentes em cada quadrante do círculo trigonométrico, e que têm máximos e mínimos.

2. Resolução de problemas (10 - 12 minutos):

   2.1. O professor apresenta os problemas da altura do prédio e da distância entre os pontos inacessíveis, que foram propostos na Introdução. Ele pede aos alunos para, em grupos, tentarem resolver esses problemas utilizando as funções trigonométricas. O professor circula pela sala, auxiliando os grupos e tirando dúvidas.

   2.2. Após um tempo determinado, o professor reúne a turma e pede a um ou dois grupos para apresentarem suas soluções. Ele então mostra como esses problemas podem ser resolvidos de forma sistemática, utilizando a trigonometria. Ele deve enfatizar que a trigonometria é uma ferramenta poderosa para resolver problemas práticos do dia a dia.

   2.3. O professor também pode propor outros problemas, desafiando os alunos a aplicarem seus conhecimentos de funções trigonométricas. Por exemplo, ele pode propor o problema de calcular a altura de um balão, utilizando a sombra que ele projeta no chão e o ângulo de incidência da luz. Ou ainda, o problema de calcular a distância entre dois pontos inacessíveis no fundo do mar, utilizando um sonar e a trigonometria.

3. Discussão e Conclusão (3 - 5 minutos):

   3.1. O professor encerra a etapa de Desenvolvimento da aula promovendo uma discussão sobre as soluções apresentadas e os problemas propostos. Ele deve incentivar os alunos a compartilharem suas ideias e a explicarem como chegaram a suas soluções.

   3.2. Finalmente, o professor reforça a importância das funções trigonométricas e da trigonometria para resolver problemas do dia a dia e em diversas áreas do conhecimento. Ele pode dar exemplos de como a trigonometria é usada em diferentes profissões e tecnologias, para motivar os alunos a continuarem estudando e aplicando esses conceitos.

Retorno (8 - 10 minutos)

1. Resumo e Recapitulação (3 - 4 minutos):

   1.1. O professor inicia esta etapa fazendo um breve resumo dos conceitos e aplicações apresentados durante a aula. Ele pode relembrar a definição de função trigonométrica, o cálculo das razões trigonométricas, a aplicação destas funções em problemas reais e a importância da trigonometria em diversas áreas do conhecimento e tecnologias.

   1.2. Em seguida, o professor pede aos alunos para recapitularem o que aprenderam, solicitando que eles compartilhem os pontos mais importantes de cada tópico abordado. Ele deve incentivar os alunos a formularem suas respostas de forma clara e concisa.

   1.3. O professor pode também fazer perguntas diretas para verificar o entendimento dos alunos. Por exemplo: "Qual é a definição de função trigonométrica?" ou "Como vocês resolveriam o problema da altura do prédio, utilizando a trigonometria?".

2. Conexão com a Prática (2 - 3 minutos):

   2.1. O professor pede aos alunos para refletirem sobre como os conceitos aprendidos na aula se conectam com o mundo real. Ele pode fazer perguntas como: "Vocês conseguem pensar em outras situações do dia a dia onde a trigonometria poderia ser útil?" ou "Como vocês acham que a trigonometria é aplicada em áreas como engenharia, arquitetura, física, etc?".

   2.2. O professor também pode pedir aos alunos para pensarem em como os conceitos aprendidos podem ser aplicados em outros contextos. Por exemplo, ele pode propor a seguinte situação: "Imagine que vocês estão em um navio e querem medir a distância até uma ilha. Vocês têm um sextante para medir o ângulo entre o horizonte e o topo da ilha. Como vocês poderiam usar a trigonometria para calcular a distância até a ilha?".

3. Reflexão Final (2 - 3 minutos):

   3.1. O professor encerra a aula pedindo aos alunos para refletirem sobre o que aprenderam. Ele pode fazer perguntas como: "Qual foi o conceito mais importante que você aprendeu hoje?" ou "Quais questões ainda não foram respondidas?".

   3.2. O professor também pode pedir aos alunos para anotarem em seus cadernos uma pergunta ou dúvida que eles gostariam de discutir na próxima aula. Isso ajuda a reforçar o aprendizado e a incentivar os alunos a serem mais ativos no processo de aprendizagem.

   3.3. Finalmente, o professor agradece a participação dos alunos e os parabeniza pelo esforço e pelo progresso. Ele encoraja os alunos a continuarem estudando e praticando, e a procurarem ajuda sempre que tiverem dúvidas.

Conclusão (5 - 7 minutos)

1. Resumo dos Conteúdos (2 - 3 minutos):

   1.1. O professor inicia a Conclusão fazendo um breve resumo dos principais pontos abordados durante a aula. Ele recapitula a definição de função trigonométrica, a relação entre ângulos e razões trigonométricas, a aplicação dessas funções em problemas práticos e a importância da trigonometria em diversas áreas do conhecimento.

   1.2. O professor reforça os conceitos mais importantes, como a definição de função trigonométrica, a interpretação de entradas e saídas, o cálculo das razões trigonométricas e a resolução de problemas utilizando a trigonometria.

2. Conexão entre Teoria, Prática e Aplicações (1 - 2 minutos):

   2.1. O professor destaca como a aula conectou a teoria, a prática e as aplicações reais. Ele menciona que, após a revisão teórica, os alunos tiveram a oportunidade de aplicar seus conhecimentos em problemas práticos, como o cálculo da altura de um prédio ou da distância entre dois pontos inacessíveis.

   2.2. O professor reforça que a trigonometria é uma ferramenta poderosa e útil, com aplicações em várias áreas do conhecimento e em situações cotidianas. Ele pode mencionar novamente algumas dessas aplicações, como a engenharia, a arquitetura, a física, etc.

3. Materiais Extras (1 - 2 minutos):

   3.1. O professor sugere alguns materiais de estudo extras para os alunos que desejam aprofundar seus conhecimentos sobre funções trigonométricas. Ele pode indicar livros de matemática, sites educacionais, vídeos explicativos, entre outros.

   3.2. O professor também pode sugerir alguns exercícios adicionais para os alunos praticarem em casa. Ele deve lembrar aos alunos que a prática é fundamental para fixar os conceitos e para desenvolver habilidades de resolução de problemas.

4. Importância do Assunto (1 - 2 minutos):

   4.1. O professor encerra a aula reforçando a importância do assunto para a vida dos alunos. Ele explica que, embora a trigonometria possa parecer abstrata e complexa, ela tem aplicações práticas e reais, que podem ser úteis em diversas situações.

   4.2. O professor pode dar exemplos concretos de como a trigonometria é usada no dia a dia, como no cálculo de trajetórias de projéteis (usado em esportes como futebol, basquete, etc.), no cálculo de distâncias inacessíveis (usado em navegação, construção civil, etc.), ou na determinação de alturas inacessíveis (usado em meteorologia, astronomia, etc.).

   4.3. Ele também pode mencionar que o estudo da trigonometria ajuda a desenvolver habilidades importantes, como o pensamento lógico, a abstração, a capacidade de resolver problemas, entre outras. E que essas habilidades são valiosas não apenas para a matemática, mas para a vida em geral.