(Originais Teachy 2023) - Questão Muito Difícil de Matemática

Um grupo de estudantes do 7º ano do Ensino Fundamental está trabalhando em um projeto de arte e matemática, onde eles devem criar padrões usando um triângulo equilátero como base e aplicar rotações de 90 graus para gerar novas figuras simétricas. O desafio proposto é o seguinte: Inicialmente, o grupo desenha um triângulo equilátero ABC com 6 cm de lado. Eles marcam o ponto médio de cada lado do triângulo, nomeando-os de D, E e F. Em seguida, eles desenham um novo triângulo equilátero DEF, onde cada lado mede metade do lado do triângulo ABC. Para completar o padrão, eles desenham um terceiro triângulo equilátero, nomeando os pontos médios dos lados do triângulo DEF como G, H e I. O desafio é identificar a área da região formada pela interseção dos três triângulos criados e o perímetro total dessa região. Além disso, calcular a área do terceiro triângulo equilátero. Considere que a tangente de 60 graus é igual a raiz quadrada de 3 e que a área de um triângulo equilátero é dada pela fórmula (lado^2 * raiz quadrada de 3) / 4, onde 'lado' é o comprimento de um lado do triângulo.