A regência verbal estuda a relação entre os verbos e seus complementos. No primeiro enunciado, "O médico em questão publicou em sua rede social a imagem de um receituário...", o verbo "publicar" é transitivo direto, pois não exige preposição e tem como complemento direto "a imagem de um receituário". No segundo enunciado, "A diretoria do Hospital Santa Rosa de Lima publicou uma nota...", o verbo "publicar" também é transitivo direto, pois não exige preposição e tem como complemento direto "uma nota". Portanto, a classificação correta da regência verbal dos verbos "publicar" nos dois enunciados é transitivo direto - transitivo direto.