Para resolver essa questão, vamos utilizar a Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período de órbita de um planeta com o raio da sua órbita e a massa da estrela em torno da qual ele orbita. A Terceira Lei de Kepler é expressa pela fórmula: \[ T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)} \cdot r^3 \] onde: - \( T \) é o período orbital do planeta (tempo que o planeta leva para completar uma órbita), - \( r \) é o raio médio da órbita do planeta, - \( M \) é a massa da estrela, - \( m \) é a massa do planeta, - \( G \) é a constante gravitacional universal, - \( \pi \) é a constante pi. Como a massa do planeta é muito menor que a massa da estrela, podemos simplificar a equação ignorando a massa do planeta: \[ T^2 \approx \frac{4\pi^2}{GM} \cdot r^3 \] Agora, vamos aplicar essa lei tanto para o planeta em torno de Gliese 581 quanto para a Terra em torno do Sol. Para o planeta em torno de Gliese 581, temos: \[ T_{G} = 13 \text{ dias} = 13 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ segundos} \] \[ r_{G} = \frac{1}{14} \text{ da distância média entre o Sol e a Terra} \] Para a Terra em torno do Sol, temos: \[ T_{\oplus} = 1 \text{ ano} = 365,25 \text{ dias} = 365,25 \times 24 \times 60 \times 60 \text{ segundos} \] \[ r_{\oplus} = 1 \text{ unidade astronômica (UA)} \] Agora, vamos relacionar as duas situações usando a Terceira Lei de Kepler: \[ \left(\frac{T_{G}}{T_{\oplus}}\right)^2 = \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \cdot \left(\frac{r_{G}}{r_{\oplus}}\right)^3 \] Substituindo os valores conhecidos: \[ \left(\frac{13 \times 24 \times 60 \times 60}{365,25 \times 24 \times 60 \times 60}\right)^2 = \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \cdot \left(\frac{1/14}{1}\right)^3 \] Calculando o lado esquerdo da equação: \[ \left(\frac{13}{365,25}\right)^2 = \left(\frac{1}{28,096}\right)^2 \approx \left(\frac{1}{28,100}\right)^2 \approx \left(\frac{1}{28,000}\right)^2 = \frac{1}{784,000,000} \] E o lado direito da equação: \[ \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \cdot \left(\frac{1}{14^3}\right) = \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \cdot \frac{1}{2,744} \] Igualando os dois lados e resolvendo para \( \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \): \[ \frac{1}{784,000,000} = \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \cdot \frac{1}{2,744} \] \[ \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} = \frac{2,744}{784,000,000} \] \[ \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \approx \frac{2,744}{784} \times \frac{1,000,000}{1,000,000} \] \[ \frac{M_{\oplus}}{M_{G}} \approx \frac{3}{1,000} \] \[ \frac{M_{G}}{M_{\oplus}} \approx \frac{1,000}{3} \] \[ \frac{M_{G}}{M_{\oplus}} \approx 333,33 \] Agora, sabemos que a massa do Sol é aproximadamente 333,000 vezes a massa da Terra. Portanto, a razão entre as massas da Gliese 581 e do nosso Sol é: \[ \frac{M_{G}}{M_{\odot}} = \frac{333,33}{333,000} \] \[ \frac{M_{G}}{M_{\odot}} \approx \frac{1}{1,000} \] \[ \frac{M_{G}}{M_{\odot}} \approx 0,3 \] Portanto, a resposta correta é: d) 0,3