Seja $z = x + iy$, onde $x, y \in \mathbb{R}$. A condição $\Im(z) \neq 0$ implica que $y \neq 0$. **1. Análise da condição $\Im(z^3) = 0$:** Primeiramente, calculamos $z^3$: $z^3 = (x+iy)^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3$ $z^3 = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3$ $z^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3)$ A parte imaginária de $z^3$ é $\Im(z^3) = 3x^2y - y^3$. Impondo $\Im(z^3) = 0$: $3x^2y - y^3 = 0$ $y(3x^2 - y^2) = 0$ Como $y \neq 0$, podemos dividir por $y$: $3x^2 - y^2 = 0 \implies y^2 = 3x^2 \quad (*)$ **2. Análise da condição $\Im((1+z)^3) = 0$:** Seja $w = 1+z$. Então $w = (1+x) + iy$. A parte imaginária de $w$ é $\Im(w) = y$. Como $y \neq 0$, temos $\Im(w) \neq 0$. Como $w$ satisfaz a mesma condição que $z$ (a sua parte imaginária não é nula e a parte imaginária do seu cubo é nula), podemos aplicar a mesma dedução da secção anterior para $w$. Seja $u = 1+x$ e $v = y$. Então $\Im(w^3) = \Im((u+iv)^3) = 3u^2v - v^3$. Impondo $\Im((1+z)^3) = 0$: $3(1+x)^2y - y^3 = 0$ $y(3(1+x)^2 - y^2) = 0$ Como $y \neq 0$, podemos dividir por $y$: $3(1+x)^2 - y^2 = 0 \implies y^2 = 3(1+x)^2 \quad (**)$ **3. Resolução do sistema de equações:** Temos um sistema de duas equações: 1. $y^2 = 3x^2$ 2. $y^2 = 3(1+x)^2$ Igualando as expressões para $y^2$: $3x^2 = 3(1+x)^2$ $x^2 = (1+x)^2$ $x^2 = 1 + 2x + x^2$ $0 = 1 + 2x$ $2x = -1$ $x = -\frac{1}{2}$ Agora substituímos o valor de $x$ em $y^2 = 3x^2$: $y^2 = 3\left(-\frac{1}{2}\right)^2$ $y^2 = 3\left(\frac{1}{4}\right)$ $y^2 = \frac{3}{4}$ $y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ **4. Verificação e Conclusão:** Os valores de $y$ obtidos, $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, são ambos diferentes de zero, satisfazendo a condição inicial $\Im(z) \neq 0$. Os possíveis valores de $z$ são: $z_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ $z_2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ Estes são os números complexos que satisfazem as condições dadas. Em forma polar, $z_1 = e^{i2\pi/3}$ e $z_2 = e^{i4\pi/3}$ (ou $e^{-i2\pi/3}$). Verificação: Para $z_1 = e^{i2\pi/3}$: $\Im(z_1) = \sqrt{3}/2 \neq 0$. $z_1^3 = (e^{i2\pi/3})^3 = e^{i2\pi} = 1$. $\Im(z_1^3)=0$. $1+z_1 = 1 + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$. $(1+z_1)^3 = (e^{i\pi/3})^3 = e^{i\pi} = -1$. $\Im((1+z_1)^3)=0$. Para $z_2 = e^{i4\pi/3}$: $\Im(z_2) = -\sqrt{3}/2 \neq 0$. $z_2^3 = (e^{i4\pi/3})^3 = e^{i4\pi} = 1$. $\Im(z_2^3)=0$. $1+z_2 = 1 + (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} = e^{-i\pi/3}$. $(1+z_2)^3 = (e^{-i\pi/3})^3 = e^{-i\pi} = -1$. $\Im((1+z_2)^3)=0$. Ambos os valores satisfazem todas as condições. Os valores de $z$ são $z = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}$.