Para determinar o número complexo Z, vamos analisar separadamente as duas condições dadas. **1. Análise da primeira condição: Argumento de $\frac{2 \mathrm{Z}}{\overline{\mathrm{Z}} \mathrm{i}}$** Seja $Z = |Z|e^{i\theta}$, onde $|Z|$ é o módulo de Z e $\theta = \arg(Z)$ é o argumento principal de Z. Então, $\overline{Z} = |Z|e^{-i\theta}$. A expressão $\frac{2 \mathrm{Z}}{\overline{\mathrm{Z}} \mathrm{i}}$ pode ser reescrita como: $$ \frac{2 |Z|e^{i\theta}}{(|Z|e^{-i\theta})e^{i\pi/2}} = \frac{2 |Z|e^{i\theta}}{|Z|e^{-i\theta + i\pi/2}} = 2 e^{i\theta - (-i\theta + i\pi/2)} = 2 e^{i(2\theta - \pi/2)} $$ O argumento desta expressão é $2\theta - \frac{\pi}{2}$. De acordo com a condição dada, este argumento é igual a $\frac{3\pi}{4}$. Assim, temos: $$ 2\theta - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ 2\theta = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$ $$ 2\theta = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} + 2k\pi $$ $$ 2\theta = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi $$ $$ \theta = \frac{5\pi}{8} + k\pi $$ Considerando os valores de $\theta$ no intervalo $(-\pi, \pi]$: Para $k=0$, $\theta = \frac{5\pi}{8}$. Para $k=-1$, $\theta = \frac{5\pi}{8} - \pi = -\frac{3\pi}{8}$. **2. Análise da segunda condição: $\log _{3}(2 \mathrm{Z}+2 \overline{\mathrm{Z}}+1)=2$** Seja $Z = x+yi$, onde $x = \text{Re}(Z)$ e $y = \text{Im}(Z)$. Então, $\overline{Z} = x-yi$. A expressão $2Z+2\overline{Z}$ torna-se: $$ 2(x+yi) + 2(x-yi) = 2x+2yi+2x-2yi = 4x $$ Substituindo na equação logarítmica: $$ \log_{3}(4x+1) = 2 $$ Pela definição de logaritmo, temos: $$ 4x+1 = 3^2 $$ $$ 4x+1 = 9 $$ $$ 4x = 8 $$ $$ x = 2 $$ Sabemos que $x = |Z|\cos\theta$. Como $x=2$ é positivo, e $|Z|$ é sempre positivo, o valor de $\cos\theta$ deve ser positivo. **3. Combinando as condições para encontrar Z** Com base na primeira condição, tínhamos duas possibilidades para $\theta$: $\frac{5\pi}{8}$ ou $-\frac{3\pi}{8}$. * Se $\theta = \frac{5\pi}{8}$: Este ângulo está no segundo quadrante ($\pi/2 < \frac{5\pi}{8} < \pi$), onde o cosseno é negativo ($\cos(\frac{5\pi}{8}) < 0$). Isso contradiz a exigência de $\cos\theta > 0$. * Se $\theta = -\frac{3\pi}{8}$: Este ângulo é equivalente a $\frac{3\pi}{8}$ no sentido horário. $\cos(-\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{3\pi}{8})$. O ângulo $\frac{3\pi}{8}$ está no primeiro quadrante ($0 < \frac{3\pi}{8} < \pi/2$), onde o cosseno é positivo ($\cos(\frac{3\pi}{8}) > 0$). Esta é a opção consistente. Portanto, $\arg(Z) = \theta = -\frac{3\pi}{8}$. Agora, vamos determinar $|Z|$ usando $x = |Z|\cos\theta$: $$ 2 = |Z|\cos\left(-\frac{3\pi}{8}\right) $$ $$ 2 = |Z|\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) $$ Para calcular $\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)$, usamos a identidade do ângulo duplo: $\cos(2A) = 2\cos^2(A) - 1$. Seja $A = \frac{3\pi}{8}$, então $2A = \frac{3\pi}{4}$. $$ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = 2\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) - 1 $$ $$ -\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) - 1 $$ $$ 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) $$ $$ \frac{2-\sqrt{2}}{2} = 2\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) $$ $$ \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{2-\sqrt{2}}{4} $$ Como $\frac{3\pi}{8}$ está no primeiro quadrante, $\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) > 0$: $$ \cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} $$ Agora, podemos encontrar $|Z|$: $$ |Z| = \frac{2}{\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} $$ Finalmente, para encontrar $Z=x+yi$, já temos $x=2$. Precisamos calcular $y = |Z|\sin\theta$. $$ y = |Z|\sin\left(-\frac{3\pi}{8}\right) = -|Z|\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) $$ Para calcular $\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)$, usamos a identidade $\sin^2(A) = 1 - \cos^2(A)$: $$ \sin^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) = 1 - \cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right) = 1 - \frac{2-\sqrt{2}}{4} = \frac{4 - (2-\sqrt{2})}{4} = \frac{2+\sqrt{2}}{4} $$ Como $\frac{3\pi}{8}$ está no primeiro quadrante, $\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) > 0$: $$ \sin\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} $$ Agora calculamos $y$: $$ y = -\frac{4}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} = -\frac{2\sqrt{2+\sqrt{2}}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}} $$ Para simplificar a expressão de $y$, racionalizamos o denominador dentro da raiz: $$ y = -2 \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}} = -2 \sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}} = -2 \sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2}} $$ $$ y = -2 \sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})^2}{2}} = -2 \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -2 \frac{(2+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2} $$ $$ y = -(2\sqrt{2}+2) = -2-2\sqrt{2} $$ Portanto, o número complexo Z é $Z = x+yi$: $$ Z = 2 + (-2-2\sqrt{2})i $$ $$ Z = 2 - 2(1+\sqrt{2})i $$ The final answer is $\boxed{2 - 2(1+\sqrt{2})i}$.