Seja a equação dada: $$ \frac{\operatorname{sen}^{4} \alpha}{a}+\frac{\cos ^{4} \alpha}{b}=\frac{1}{a+b} \quad (*) $$ Para simplificar a notação, seja $x = \operatorname{sen}^{2} \alpha$ e $y = \cos^{2} \alpha$. Pela identidade trigonométrica fundamental, sabemos que $\operatorname{sen}^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$, o que implica $x+y=1$, ou seja, $y=1-x$. Substituindo $x$ e $y$ na equação $(*)$, obtemos: $$ \frac{x^2}{a} + \frac{y^2}{b} = \frac{1}{a+b} $$ Agora, substituímos $y=1-x$: $$ \frac{x^2}{a} + \frac{(1-x)^2}{b} = \frac{1}{a+b} $$ Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados da equação por $ab(a+b)$. Note que as condições $a \neq 0, b \neq 0$ e $a+b \neq 0$ garantem que esta multiplicação é válida e não introduz divisões por zero: $$ b(a+b)x^2 + a(a+b)(1-x)^2 = ab $$ Desenvolvemos o termo $(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2$: $$ (ab+b^2)x^2 + (a^2+ab)(1 - 2x + x^2) = ab $$ $$ (ab+b^2)x^2 + (a^2+ab) - 2(a^2+ab)x + (a^2+ab)x^2 = ab $$ Agrupando os termos em relação às potências de $x$: $$ (ab+b^2+a^2+ab)x^2 - 2(a^2+ab)x + (a^2+ab-ab) = 0 $$ $$ (a^2+2ab+b^2)x^2 - 2a(a+b)x + a^2 = 0 $$ Reconhecendo que $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$, a equação se simplifica para: $$ (a+b)^2 x^2 - 2a(a+b)x + a^2 = 0 $$ Esta é uma equação quadrática na variável $x$. Observamos que ela é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado como: $$ ((a+b)x - a)^2 = 0 $$ Isso implica que a única solução para $x$ é: $$ (a+b)x - a = 0 $$ $$ (a+b)x = a $$ $$ x = \frac{a}{a+b} $$ Portanto, temos o valor de $\operatorname{sen}^{2} \alpha$: $$ \operatorname{sen}^{2} \alpha = \frac{a}{a+b} $$ Agora, podemos encontrar $\cos^{2} \alpha$ usando a relação $y=1-x$: $$ \cos^{2} \alpha = 1 - \frac{a}{a+b} = \frac{a+b-a}{a+b} = \frac{b}{a+b} $$ Assim, temos: $$ \operatorname{sen}^{2} \alpha = \frac{a}{a+b} \quad \text{e} \quad \cos^{2} \alpha = \frac{b}{a+b} $$ O objetivo é determinar o valor da expressão $\frac{\operatorname{sen}^{8} \alpha}{a^{3}}+\frac{\cos ^{8} \alpha}{b^{3}}$. Podemos reescrever $\operatorname{sen}^{8} \alpha$ como $(\operatorname{sen}^{2} \alpha)^4$ e $\cos^{8} \alpha$ como $(\cos^{2} \alpha)^4$. Substituindo os valores encontrados para $\operatorname{sen}^{2} \alpha$ e $\cos^{2} \alpha$: $$ \operatorname{sen}^{8} \alpha = \left(\frac{a}{a+b}\right)^4 = \frac{a^4}{(a+b)^4} $$ $$ \cos^{8} \alpha = \left(\frac{b}{a+b}\right)^4 = \frac{b^4}{(a+b)^4} $$ Agora, substituímos essas expressões na fórmula desejada: $$ \frac{\operatorname{sen}^{8} \alpha}{a^{3}}+\frac{\cos ^{8} \alpha}{b^{3}} = \frac{\frac{a^4}{(a+b)^4}}{a^{3}} + \frac{\frac{b^4}{(a+b)^4}}{b^{3}} $$ Simplificando as frações: $$ = \frac{a^4}{a^{3}(a+b)^4} + \frac{b^4}{b^{3}(a+b)^4} $$ $$ = \frac{a}{(a+b)^4} + \frac{b}{(a+b)^4} $$ Somando os termos, que já têm o mesmo denominador: $$ = \frac{a+b}{(a+b)^4} $$ Finalmente, simplificando a fração: $$ = \frac{1}{(a+b)^3} $$ Portanto, o valor de $\frac{\operatorname{sen}^{8} \alpha}{a^{3}}+\frac{\cos ^{8} \alpha}{b^{3}}$ é $\frac{1}{(a+b)^3}$. The final answer is $\boxed{\frac{1}{(a+b)^3}}$.