a) Usando as fórmulas de arco duplo podemos reescrever a matriz $H$ como sendo $$ H=\left(\begin{array}{cc} 1-2 \cos ^{2}(t) & -2 \cos (t) \operatorname{sen}(t) \\ -2 \cos (t) \operatorname{sen}(t) & 1-2 \operatorname{sen}^{2}(t) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -\cos (2 t) & -\operatorname{sen}(2 t) \\ -\operatorname{sen}(2 t) & \cos (2 t) \end{array}\right) $$ Para mostrar que a matriz é invertível, podemos calcular seu determinante e mostrar que ele é diferente de zero. Assim: $$ \operatorname{det}(H)=-\cos ^{2}(2 t)-\operatorname{sen}^{2}(2 t)=-1 $$ Logo, a matriz é invertível. b) Devemos resolver o sistema $$ \left(\begin{array}{cc} -\cos (2 t) & -\operatorname{sen}(2 t) \\ -\operatorname{sen}(2 t) & \cos (2 t) \end{array}\right)\binom{3}{2}=\binom{2}{3} $$ que pode ser reescrito como $$ \left\{\begin{array}{c} 3(-\cos (2 t))+2(-\operatorname{sen}(2 t))=2 \\ 3(-\operatorname{sen}(2 t))+2(\cos (2 t))=3 \end{array}\right. $$ que é equivalente ao sistema $$ \left\{\begin{array}{l} -3 \cos (2 t)-2 \operatorname{sen}(2 t)=2 \\ -3 \operatorname{sen}(2 t)+2 \cos (2 t)=3 \end{array}\right. $$ Multiplicando-se a primeira linha por 2 e a segunda por 3, e somando-se as equações, obtemos $\operatorname{sen}(2 t)=-1$ ou seja, $t=\frac{3 \pi}{4}$ ou $t=\frac{7 \pi}{4}$.