Para resolver o problema, calcularemos cada uma das expressões solicitadas em etapas. **1. Cálculo de $\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$** Seja $t = \tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$. Sabemos a identidade da tangente do arco duplo: $\tan(\theta) = \frac{2 \tan(\theta/2)}{1 - \tan^2(\theta/2)}$. Aplicando para $\theta = \alpha+\beta$: $\tan(\alpha+\beta) = \frac{2 \tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}$ Substituindo o valor dado $\tan(\alpha+\beta)=-2$: $-2 = \frac{2t}{1-t^2}$ Dividindo por 2: $-1 = \frac{t}{1-t^2}$ $-1(1-t^2) = t$ $-1+t^2 = t$ $t^2 - t - 1 = 0$ Esta é uma equação quadrática para $t$. Usando a fórmula quadrática $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$: $t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$ $t = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}$ $t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ Como $\alpha, \beta \in (0, \pi/2)$, temos $0 < \alpha < \pi/2$ e $0 < \beta < \pi/2$. Somando as desigualdades, obtemos $0 < \alpha+\beta < \pi$. Consequentemente, $0 < \frac{\alpha+\beta}{2} < \frac{\pi}{2}$. Neste intervalo $(0, \pi/2)$, a função tangente é positiva. Portanto, devemos escolher a raiz positiva: $\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ **2. Cálculo de $\frac{\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}$** Usamos a relação dada $\operatorname{sen}(\alpha)=(4-\sqrt{5}) \operatorname{sen}(\beta)$. Podemos reescrever esta relação como um quociente: $\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\operatorname{sen}(\beta)} = 4-\sqrt{5}$ Agora, aplicamos a propriedade de proporções que relaciona a diferença e a soma dos termos: $\frac{\operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta)}{\operatorname{sen}(\alpha) + \operatorname{sen}(\beta)} = \frac{(4-\sqrt{5}) - 1}{(4-\sqrt{5}) + 1}$ $\frac{\operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta)}{\operatorname{sen}(\alpha) + \operatorname{sen}(\beta)} = \frac{3-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$ Utilizamos as identidades de soma e diferença de senos: $\operatorname{sen}(A) - \operatorname{sen}(B) = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)$ $\operatorname{sen}(A) + \operatorname{sen}(B) = 2 \operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$ Dividindo estas identidades, obtemos: $\frac{\operatorname{sen}(A) - \operatorname{sen}(B)}{\operatorname{sen}(A) + \operatorname{sen}(B)} = \frac{2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)} = \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{A-B}{2}\right)/\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\operatorname{sen}\left(\frac{A+B}{2}\right)/\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)} = \frac{\tan\left(\frac{A-B}{2}\right)}{\tan\left(\frac{A+B}{2}\right)}$ Aplicando esta identidade à nossa equação: $\frac{\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} = \frac{3-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$ Para simplificar a expressão do lado direito, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: $\frac{3-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} \cdot \frac{5+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{5^2 - (\sqrt{5})^2}$ $= \frac{15 + 3\sqrt{5} - 5\sqrt{5} - 5}{25 - 5}$ $= \frac{10 - 2\sqrt{5}}{20}$ $= \frac{2(5 - \sqrt{5})}{20}$ $= \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ Portanto, $\frac{\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} = \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$ **3. Cálculo de $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$** Agora que temos $\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ e a razão entre as tangentes, podemos calcular $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$. $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \left( \frac{\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} \right) \cdot \tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$ $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \left( \frac{5 - \sqrt{5}}{10} \right) \cdot \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)$ $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \frac{(5 - \sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{20}$ $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \frac{5 + 5\sqrt{5} - \sqrt{5} - 5}{20}$ $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \frac{4\sqrt{5}}{20}$ $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ Para verificar o sinal, como $\alpha, \beta \in (0, \pi/2)$, temos $-\pi/2 < \alpha-\beta < \pi/2$, o que implica $-\pi/4 < \frac{\alpha-\beta}{2} < \pi/4$. Da relação $\operatorname{sen}(\alpha)=(4-\sqrt{5}) \operatorname{sen}(\beta)$, como $4-\sqrt{5} \approx 1.76 > 1$, e a função seno é crescente em $(0, \pi/2)$, temos $\operatorname{sen}(\alpha) > \operatorname{sen}(\beta)$, o que implica $\alpha > \beta$. Portanto, $\alpha-\beta > 0$, e $0 < \frac{\alpha-\beta}{2} < \pi/4$. Neste intervalo, $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$ deve ser positivo, o que é consistente com o nosso resultado $\frac{\sqrt{5}}{5}$. **Resumo das respostas:** * $\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ * $\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ * $\frac{\tan \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} = \frac{5 - \sqrt{5}}{10}$