Sejam as equações dadas: 1) $\operatorname{sen}(\alpha) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{4}$ 2) $\operatorname{sen}(\alpha) - 2\operatorname{sen}(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}$ Da equação (1), podemos expressar $\operatorname{sen}(\alpha)$ em termos de $\operatorname{sen}(\beta)$: $\operatorname{sen}(\alpha) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{4}$ Substituímos esta expressão na equação (2): $\left(\operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{4}\right) - 2\operatorname{sen}(\beta) + \cos(\beta) = \frac{3}{4}$ $-\operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{4} + \cos(\beta) = \frac{3}{4}$ $\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4}$ $\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{2}{4}$ $\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{2}$ Agora temos uma relação entre $\operatorname{sen}(\beta)$ e $\cos(\beta)$. Podemos usar a identidade fundamental da trigonometria $\operatorname{sen}^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1$. Da equação $\cos(\beta) - \operatorname{sen}(\beta) = \frac{1}{2}$, isolamos $\cos(\beta)$: $\cos(\beta) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{2}$ Substituímos esta expressão na identidade fundamental: $\operatorname{sen}^2(\beta) + \left(\operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{2}\right)^2 = 1$ $\operatorname{sen}^2(\beta) + \operatorname{sen}^2(\beta) + 2 \cdot \operatorname{sen}(\beta) \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1$ $2\operatorname{sen}^2(\beta) + \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{4} = 1$ $2\operatorname{sen}^2(\beta) + \operatorname{sen}(\beta) - \frac{3}{4} = 0$ Para eliminar a fração, multiplicamos toda a equação por 4: $8\operatorname{sen}^2(\beta) + 4\operatorname{sen}(\beta) - 3 = 0$ Usamos a fórmula quadrática para encontrar os valores de $\operatorname{sen}(\beta)$: $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(8)(-3)}}{2(8)}$ $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 96}}{16}$ $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-4 \pm \sqrt{112}}{16}$ Como $\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = 4\sqrt{7}$: $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-4 \pm 4\sqrt{7}}{16}$ $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{4}$ Temos dois possíveis valores para $\operatorname{sen}(\beta)$: Caso 1: $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-1 + \sqrt{7}}{4}$ Neste caso, $\sqrt{7} \approx 2.64$, então $\operatorname{sen}(\beta) \approx \frac{-1 + 2.64}{4} = \frac{1.64}{4} = 0.41$. Para este valor de $\operatorname{sen}(\beta)$, $\cos(\beta) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{2} = \frac{-1 + \sqrt{7}}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1 + \sqrt{7}}{4}$. $\cos(\beta) \approx \frac{1 + 2.64}{4} = \frac{3.64}{4} = 0.91$. Como $\operatorname{sen}(\beta) > 0$ e $\cos(\beta) > 0$, $\beta$ estaria no primeiro quadrante $(0, \pi/2)$. No entanto, o problema especifica que $\beta \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$. Portanto, esta solução é rejeitada. Caso 2: $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4}$ Neste caso, $\operatorname{sen}(\beta) \approx \frac{-1 - 2.64}{4} = \frac{-3.64}{4} = -0.91$. Para este valor de $\operatorname{sen}(\beta)$, $\cos(\beta) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{2} = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$. $\cos(\beta) \approx \frac{1 - 2.64}{4} = \frac{-1.64}{4} = -0.41$. Como $\operatorname{sen}(\beta) < 0$ e $\cos(\beta) < 0$, $\beta$ estaria no terceiro quadrante $(\pi, 3\pi/2)$. Este intervalo está contido em $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$. Portanto, estes são os valores corretos para $\operatorname{sen}(\beta)$ e $\cos(\beta)$: $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4}$ $\cos(\beta) = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$ Agora, encontramos $\operatorname{sen}(\alpha)$ usando a equação (1): $\operatorname{sen}(\alpha) = \operatorname{sen}(\beta) + \frac{1}{4} = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{-1 - \sqrt{7} + 1}{4} = \frac{-\sqrt{7}}{4}$ Para encontrar $\cos(\alpha)$, usamos a identidade $\operatorname{sen}^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$: $\left(\frac{-\sqrt{7}}{4}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1$ $\frac{7}{16} + \cos^2(\alpha) = 1$ $\cos^2(\alpha) = 1 - \frac{7}{16} = \frac{16 - 7}{16} = \frac{9}{16}$ $\cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$ O problema especifica que $\alpha \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$. Encontramos $\operatorname{sen}(\alpha) = \frac{-\sqrt{7}}{4} < 0$. Se $\operatorname{sen}(\alpha)$ é negativo, $\alpha$ deve estar no terceiro ou quarto quadrante. Considerando o intervalo dado para $\alpha$, $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$, e o fato de que $\operatorname{sen}(\alpha) < 0$, $\alpha$ deve estar no intervalo $(\pi, 3\pi/2]$. Neste intervalo, $\cos(\alpha)$ é negativo ou zero. Portanto, $\cos(\alpha) = -\frac{3}{4}$. Agora temos todos os valores necessários: $\operatorname{sen}(\alpha) = \frac{-\sqrt{7}}{4}$ $\cos(\alpha) = -\frac{3}{4}$ $\operatorname{sen}(\beta) = \frac{-1 - \sqrt{7}}{4}$ $\cos(\beta) = \frac{1 - \sqrt{7}}{4}$ Finalmente, calculamos $\operatorname{sen}(\alpha+\beta)$ usando a fórmula da soma de ângulos: $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \operatorname{sen}(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\operatorname{sen}(\beta)$ $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \left(\frac{-\sqrt{7}}{4}\right)\left(\frac{1 - \sqrt{7}}{4}\right) + \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{-1 - \sqrt{7}}{4}\right)$ $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \frac{-\sqrt{7}(1 - \sqrt{7})}{16} + \frac{(-3)(-1 - \sqrt{7})}{16}$ $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \frac{-\sqrt{7} + (-\sqrt{7})(-\sqrt{7})}{16} + \frac{(-3)(-1) + (-3)(-\sqrt{7})}{16}$ $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \frac{-\sqrt{7} + 7}{16} + \frac{3 + 3\sqrt{7}}{16}$ $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \frac{-\sqrt{7} + 7 + 3 + 3\sqrt{7}}{16}$ $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \frac{10 + 2\sqrt{7}}{16}$ Simplificando a fração: $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \frac{2(5 + \sqrt{7})}{2 \cdot 8}$ $\operatorname{sen}(\alpha+\beta) = \frac{5 + \sqrt{7}}{8}$ The final answer is $\boxed{\frac{5 + \sqrt{7}}{8}}$.