Banco de questões: Construções Geométricas

Na praça central de uma cidade, deseja-se construir um novo canteiro de flores com formato hexagonal regular para embelezar o ambiente. O arquiteto da cidade determinou que as diagonais mais longas do hexágono, que passam pelo centro, devem medir exatamente 10 metros para que o canteiro não ocupe muito espaço e permita o fluxo de pessoas ao redor. Para iniciar a construção, os engenheiros precisam determinar o comprimento de cada lado do hexágono e também a medida da menor diagonal, aquela que conecta dois vértices não consecutivos e não passa pelo centro. Considerando essas informações e sabendo que todas as diagonais de um hexágono regular se interceptam formando ângulos de 60º, qual deve ser o comprimento de cada lado do canteiro e a medida da menor diagonal?

Enunciado: Considere um terreno retangular, cujo proprietário deseja construir uma cerca com formato em 'V', como ilustrado na Figura 1, de maneira a separar uma área de lazer para crianças (A) e um jardim (J). Para que o projeto seja esteticamente agradável e a cerca não ultrapasse os limites do terreno, é necessário que os segmentos de cerca que delimitam o ângulo agudo do 'V' sejam perpendiculares às medidas das mediatrizes dos lados menores do terreno. Além disso, o proprietário quer que a soma das distâncias do ponto de encontro dos segmentos que formam o ângulo agudo do 'V' até as duas extremidades do lado mais longo do terreno seja a menor possível. Sabendo que o terreno tem um perímetro de 180 metros e que a área do jardim deve ser 600 metros quadrados maior que a área da área de lazer, determine as dimensões do terreno que minimizam a soma das distâncias mencionadas acima e, consequentemente, a área da área de lazer. Considere que a geometria do terreno é retangular e utilize o conceito de otimização para resolver o problema apresentado.

Em uma aula de desenho técnico, os alunos estão aprendendo a construir figuras geométricas básicas com o auxílio de régua e compasso. João e Maria, dois dos alunos mais dedicados, estão desenhando um polígono regular de 7 lados. Eles já traçaram o primeiro lado do polígono e desejam saber como encontrar o ponto que marcará o início do segundo lado, de modo que o ângulo formado com o primeiro lado seja de 45 graus. Considerando que eles já traçaram a primeira mediatriz do lado inicial do polígono, que é um segmento de reta que corta o lado em um ângulo reto e o divide em dois segmentos congruentes, e que um ângulo de 45 graus é a metade de um ângulo reto de 90 graus, descreva passo a passo como João e Maria devem proceder para encontrar o ponto de início do segundo lado do polígono. Utilize o conceito de bissetriz de um ângulo e explique o processo de construção do ângulo de 45 graus a partir do ângulo reto. Descreva também como eles podem verificar, sem o uso de instrumentos de medição de ângulos, se o ângulo formado entre a primeira mediatriz e a bissetriz construída é realmente de 45 graus.

Pedro está aprendendo a construir figuras geométricas em sua aula de Matemática e recebeu a tarefa de construir um hexágono regular utilizando um compasso e uma régua. Ele começou construindo uma circunferência, e agora deve dividir essa circunferência em ângulos centrais iguais para traçar os segmentos de reta que formarão o hexágono. Quantos graus deve medir cada ângulo central para dividir corretamente a circunferência?

Durante a construção de uma maquete escolar, Maria precisa localizar o centro de um hexágono regular para posicionar uma fonte. Para isso, ela decide construir as mediatrizes de dois lados adjacentes do hexágono e a bissetriz de um dos ângulos internos de 120º. Qual é a medida do ângulo formado pela interseção das mediatrizes com a bissetriz no ponto central do hexágono?