Banco de questões: Construções Geométricas

Durante uma aula de geometria, um professor pediu aos alunos para construir uma série de polígonos regulares e relacioná-los com os respectivos ângulos internos. Construa um pentágono regular em um papel ou software de geometria dinâmica e determine a medida do ângulo interno desse polígono regular.

Enunciado: Considere um terreno retangular, cujo proprietário deseja construir uma cerca com formato em 'V', como ilustrado na Figura 1, de maneira a separar uma área de lazer para crianças (A) e um jardim (J). Para que o projeto seja esteticamente agradável e a cerca não ultrapasse os limites do terreno, é necessário que os segmentos de cerca que delimitam o ângulo agudo do 'V' sejam perpendiculares às medidas das mediatrizes dos lados menores do terreno. Além disso, o proprietário quer que a soma das distâncias do ponto de encontro dos segmentos que formam o ângulo agudo do 'V' até as duas extremidades do lado mais longo do terreno seja a menor possível. Sabendo que o terreno tem um perímetro de 180 metros e que a área do jardim deve ser 600 metros quadrados maior que a área da área de lazer, determine as dimensões do terreno que minimizam a soma das distâncias mencionadas acima e, consequentemente, a área da área de lazer. Considere que a geometria do terreno é retangular e utilize o conceito de otimização para resolver o problema apresentado.

Joana está ajudando sua irmã pequena a fazer um móbile com formatos geométricos diferentes para decorar seu quarto. Ela decide fazer um hexágono regular utilizando apenas uma régua e um compasso. Qual é o passo a passo que Joana deve seguir para construir um hexágono regular com sucesso?

Em uma cidade planejada, uma nova avenida está sendo projetada para interligar dois pontos muito importantes: o colégio central e a praça principal. O projeto da avenida foi concebido de tal forma que ela forme um ângulo reto com uma via já existente, que passa em frente ao colégio. Além disso, a avenida deve passar a uma distância exata de 150 metros da entrada do colégio. Considere que o terreno é plano e a reta que representa a fachada do colégio é perfeitamente visível ao olhar de quem está projetando a avenida. Com base nesses dados, determine o procedimento que o engenheiro ou arquiteto deve seguir, utilizando construções geométricas, para garantir que a avenida seja corretamente alinhada e diste da fachada do colégio a exatos 150 metros, sem a necessidade de medições angulares ou equipamentos de precisão, apenas utilizando uma trena de 150 metros.

Durante a construção de uma maquete escolar, Maria precisa localizar o centro de um hexágono regular para posicionar uma fonte. Para isso, ela decide construir as mediatrizes de dois lados adjacentes do hexágono e a bissetriz de um dos ângulos internos de 120º. Qual é a medida do ângulo formado pela interseção das mediatrizes com a bissetriz no ponto central do hexágono?