Banco de questões: Determinantes: Propriedades

Considere a matriz A = [[2, 3, 0], [4, 1, 2], [0, 5, 1]]. Sabendo que o determinante de uma matriz é inalterado quando trocamos as linhas ou as colunas, determine o valor do determinante de A.

Durante uma aula de Ciências, um professor resolveu exemplificar um recente estudo sobre a biodiversidade marinha, mostrando a evolução do número de espécies observadas em áreas de recifes de coral. Para surpresa dos alunos, ele propôs uma relação matemática entre o número de espécies (E) e o nível de acidez (pH) da água do mar, sugerindo que o crescimento exponencial do número de espécies poderia se relacionar ao pH médio encontrado em distintas profundidades do oceano. Ele utilizou um modelo que, para um determinado intervalo de pH, estabelecia que o número de espécies (E) poderia ser aproximado pela função exponencial E = k * e^(apH), onde k e a são constantes específicas da região estudada. Suponha que para um recife de coral em particular, a observação do número de espécies em uma profundidade com pH de 7.5 revelou a presença de 300 espécies. Uma matriz 2x2 foi então proposta para representar o sistema de equações que relaciona o determinante da matriz dos coeficientes e o número de espécies observadas para pH ligeiramente maior e menor que o valor observado, mantendo-se outras condições constantes. Considere que o número de espécies (E) para um pH de 7.4 é 280 e para um pH de 7.6 é 320. Qual é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema de equações que relaciona o número de espécies com o pH?

Considere uma situação em que um engenheiro está projetando um sistema de comunicação para um veículo espacial. Para garantir a integridade dos dados enviados e recebidos, o engenheiro utiliza um sistema de redundância que envia as mesmas informações em canais distintos e compara os resultados. Em um determinado teste, o engenheiro precisa verificar se a matriz A, que representa os dados de um canal, é adequada para o envio. A matriz A é dada por A = [[2, 4, 6], [1, 3, 5], [0, 0, 0]]. O engenheiro sabe que se o determinante da matriz A for diferente de zero, então a matriz é adequada para a transmissão de dados. Baseado nessa informação e utilizando suas habilidades em propriedades de determinantes, responda: 1) Qual é o determinante da matriz A e o que isso indica sobre a adequação dela para o envio de dados? 2) Explique como a propriedade de que o determinante de uma matriz é zero se ela tiver duas linhas ou duas colunas iguais pode ser aplicada para justificar o resultado obtido na matriz A.

Enunciado: Considere um sistema de equações lineares aplicado a um problema de engenharia, em que as variáveis representam grandezas físicas e as equações descrevem as relações entre essas grandezas. Ao aplicar a regra de Cramer para a resolução do sistema, você se depara com uma matriz que possui uma linha inteira de zeros. Com base nisso, responda: 1) Qual é o valor do determinante desta matriz e como a propriedade do determinante de uma matriz com uma linha ou coluna de zeros ajuda na resolução do sistema de equações lineares? 2) Se a matriz resultante da aplicação da regra de Cramer, após a inserção dos termos independentes, também apresentar uma linha inteira de zeros, qual será o impacto disso na solução do sistema? Explique em termos da teoria dos determinantes.