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Banco de questões: Determinantes: Propriedades

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Questão 1:

Média

Durante uma discussão interdisciplinar no contexto de urbanização sustentável, um grupo de estudantes do Ensino Médio se deparou com um problema matricial relacionado ao planejamento de uma nova área residencial. Para projetar um novo loteamento, é necessário gerar um arranjo de ruas formando um polígono regular. A matriz dos pontos coordenados das esquinas do polígono foi estabelecida, e os alunos perceberam que, para garantir a equidistância entre as ruas e passagens de serviços, o polígono deveria ser cíclico, ou seja, o determinante da matriz de coordenadas teria de obedecer a uma propriedade específica. Considerando uma matriz A de ordem 3x3 representando as coordenadas (x, y) de três pontos consecutivos em sentido horário ou anti-horário que definem um polígono regular, e sabendo que a soma das coordenadas de cada ponto do polígono é nula, isto é, x_1 + y_1 = 0, x_2 + y_2 = 0 e x_3 + y_3 = 0, os alunos estão investigando a propriedade do determinante da matriz A que garante a ciclicidade do polígono. Qual propriedade dos determinantes eles devem verificar para assegurar que o polígono é cíclico, independentemente da orientação das coordenadas dos pontos na matriz?
Determinantes: Propriedades
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Questão 2:

Difícil

Considere a matriz quadrada A = [2 1 3; 1 -2 4; 3 0 2]. Sabendo que o determinante de uma matriz é inalterado sob as operações elementares, determine o valor do determinante da matriz A sem calcular diretamente os cofatores. Após determinar o determinante de A, explique como o resultado obtido se relaciona com as propriedades dos determinantes, como a existência de uma linha de zeros ou a Linearidade da matriz.
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Questão 3:

Difícil

Enunciado: Considere um sistema de equações lineares que modela um circuito elétrico complexo. Este sistema pode ser representado matricialmente por Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas (correntes em cada ramo do circuito) e b é o vetor de resultados (fontes de corrente e diferenças de potencial). Para analisar o circuito, é crucial calcular o determinante da matriz A. Suponha que, ao tentar encontrar o determinante de A através da expansão por cofatores, você obtém um resultado que é impraticável devido ao tamanho e complexidade do circuito. No entanto, você percebe que uma das resistências no circuito é alterada, o que acarreta na substituição de uma linha inteira da matriz A por uma combinação linear de outras duas linhas. Com base nessa observação e considerando as propriedades dos determinantes, responda: (1) Como você poderia utilizar as propriedades dos determinantes para determinar o novo valor do determinante da matriz A sem a necessidade de repetir todo o processo de expansão por cofatores? (2) Explique como a troca de uma resistência no circuito, refletida na mudança de uma linha da matriz A, pode afetar geometricamente as soluções do sistema de equações lineares e relate isso ao valor do determinante.
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Questão 4:

Difícil

Considere a seguinte situação hipotética de um problema de engenharia: um sistema de equações lineares modela a distribuição de forças em uma estrutura complexa, e a solução desse sistema é fundamental para garantir a estabilidade e segurança da estrutura. O sistema é representado por uma matriz estendida [A|B], onde A é a matriz dos coeficientes e B é a matriz dos termos independentes. Você sabe que, para que a estrutura seja estável, a matriz dos coeficientes deve ser não-singular, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Suponha que, ao resolver o sistema, você percebe que a terceira linha da matriz dos coeficientes é a soma da primeira e segunda linhas. Considerando essa informação e seu conhecimento sobre determinantes, responda: 1. Explique como a propriedade de linearidade das linhas de uma matriz pode ser usada para determinar o valor do determinante da matriz em questão. 2. Se o determinante original da matriz dos coeficientes antes das alterações for igual a 5, qual será o novo determinante da matriz após as modificações, e qual é a interpretação prática desse resultado para a estabilidade da estrutura em termos de um sistema de equações lineares?
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Questão 5:

Difícil

Seja A uma matriz quadrada 5x5 com determinante diferente de zero. Sabendo que uma das linhas de A é uma combinação linear das outras linhas, demonstre que o determinante de A é igual a zero. Em seguida, explique como essa propriedade pode ser utilizada para resolver um sistema linear homogêneo associado à matriz A, mostrando o passo a passo para encontrar todas as soluções do sistema.
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