Banco de questões: Determinantes: Propriedades

Considere uma empresa que produz três tipos de produtos: A, B e C. A empresa usa um processo de produção que pode ser modelado por um sistema de equações lineares. Para simplificar, os produtos finais não são descritos em detalhes, mas é sabido que a matriz dos coeficientes do sistema é uma matriz quadrada de ordem 3 e que o determinante desta matriz é 15. Se durante um processo de auditoria, foi descoberto que a terceira linha da matriz de produção dos produtos é uma combinação linear das duas primeiras linhas. Com base nessa informação, determine o novo determinante da matriz de produção dos produtos. Justifique o seu raciocínio utilizando as propriedades dos determinantes.

Enunciado: Considere um sistema de equações lineares que modela um circuito elétrico complexo. Este sistema pode ser representado matricialmente por Ax = b, onde A é a matriz dos coeficientes, x é o vetor das incógnitas (correntes em cada ramo do circuito) e b é o vetor de resultados (fontes de corrente e diferenças de potencial). Para analisar o circuito, é crucial calcular o determinante da matriz A. Suponha que, ao tentar encontrar o determinante de A através da expansão por cofatores, você obtém um resultado que é impraticável devido ao tamanho e complexidade do circuito. No entanto, você percebe que uma das resistências no circuito é alterada, o que acarreta na substituição de uma linha inteira da matriz A por uma combinação linear de outras duas linhas. Com base nessa observação e considerando as propriedades dos determinantes, responda: (1) Como você poderia utilizar as propriedades dos determinantes para determinar o novo valor do determinante da matriz A sem a necessidade de repetir todo o processo de expansão por cofatores? (2) Explique como a troca de uma resistência no circuito, refletida na mudança de uma linha da matriz A, pode afetar geometricamente as soluções do sistema de equações lineares e relate isso ao valor do determinante.

Em uma competição de matemática, os alunos foram desafiados a melhorar um programa de criptografia baseado em determinantes de matrizes. O código criptografa uma mensagem transformando cada caractere em um número inteiro positivo de acordo com uma tabela de conversão predefinida, e então organiza estes números em uma matriz quadrada. Para dificultar a decifração, após a mudança de base, a matriz é multiplicada por uma matriz de permutação aleatória, que salta as posições dos números na matriz, tornando a mensagem original irreconhecível sem a aplicação da permutação inversa. No entanto, os criadores do desafio garantem que a matriz de permutação usada é regular, ou seja, seu determinante é diferente de zero, o que permite a reversão da permutação. Considerando uma matriz de permutação P, e uma matriz M que contém os números correspondentes aos caracteres da mensagem original, após a aplicação de P, a matriz resultante é MP. Se o determinante da matriz M é conhecido e é igual a 4, e o determinante da matriz de permutação P é -1, qual é o determinante da matriz resultante MP?

Uma empresa está analisando a estabilidade de um sistema de equações lineares que modela a produção de três produtos diferentes. A matriz dos coeficientes desse sistema possui duas colunas idênticas. Com base nas propriedades de determinantes, qual é a consequência dessa característica sobre o sistema?

Durante uma competição de matemática, os estudantes foram desafiados a encontrar o determinante de uma matriz que representa o desempenho de três equipes em quatro etapas consecutivas. Cada elemento da matriz indica a pontuação de uma equipe em uma etapa e é sabido que a soma das pontuações das equipes na última etapa foi igual a soma das pontuações nas etapas anteriores. Utilizando essa informação e as propriedades dos determinantes, qual é o valor do determinante da matriz de desempenho se a soma das pontuações de todas as equipes na última etapa foi de 24 pontos?