Banco de questões: Determinantes: Propriedades

Enunciado: Considere um sistema de equações lineares aplicado a um problema de engenharia, em que as variáveis representam grandezas físicas e as equações descrevem as relações entre essas grandezas. Ao aplicar a regra de Cramer para a resolução do sistema, você se depara com uma matriz que possui uma linha inteira de zeros. Com base nisso, responda: 1) Qual é o valor do determinante desta matriz e como a propriedade do determinante de uma matriz com uma linha ou coluna de zeros ajuda na resolução do sistema de equações lineares? 2) Se a matriz resultante da aplicação da regra de Cramer, após a inserção dos termos independentes, também apresentar uma linha inteira de zeros, qual será o impacto disso na solução do sistema? Explique em termos da teoria dos determinantes.

Considere o sistema de equações lineares a seguir, onde x, y, e z representam variáveis desconhecidas e os coeficientes de cada equação formam uma matriz: [ 2 1 3 -1 2 1 4 3 5 ] * [ x y z ] = [ 4 3 10 ] Com base no conhecimento das propriedades dos determinantes, responda: 1) Como o valor do determinante da matriz dos coeficientes pode ajudar a determinar se o sistema possui uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções? 2) Qual propriedade dos determinantes justifica que, se uma das equações lineares é múltipla de outra, o sistema tem infinitas soluções?

Em uma competição de matemática, os alunos foram desafiados a melhorar um programa de criptografia baseado em determinantes de matrizes. O código criptografa uma mensagem transformando cada caractere em um número inteiro positivo de acordo com uma tabela de conversão predefinida, e então organiza estes números em uma matriz quadrada. Para dificultar a decifração, após a mudança de base, a matriz é multiplicada por uma matriz de permutação aleatória, que salta as posições dos números na matriz, tornando a mensagem original irreconhecível sem a aplicação da permutação inversa. No entanto, os criadores do desafio garantem que a matriz de permutação usada é regular, ou seja, seu determinante é diferente de zero, o que permite a reversão da permutação. Considerando uma matriz de permutação P, e uma matriz M que contém os números correspondentes aos caracteres da mensagem original, após a aplicação de P, a matriz resultante é MP. Se o determinante da matriz M é conhecido e é igual a 4, e o determinante da matriz de permutação P é -1, qual é o determinante da matriz resultante MP?

Uma empresa de engenharia trabalha com uma matriz quadrada 4x4 que representa as forças atuantes em uma estrutura complexa. A engenharia identificou que, devido à simetria da estrutura, as forças atuantes nas linhas e colunas 2 e 3 são iguais. Considerando que a matriz de forças A é dada por A = [[1, 2, 3, 4], [2, p, q, 7], [3, q, p, 8], [4, 7, 8, 9]], onde p e q são números reais, calcule o valor de p e q sabendo que o determinante de A é igual a 0.

Considere a matriz A = [[2, 3, 0], [4, 1, 2], [0, 5, 1]]. Sabendo que o determinante de uma matriz é inalterado quando trocamos as linhas ou as colunas, determine o valor do determinante de A.