Banco de questões: Geometria Analítica: Equação de Cônicas

Um arquiteto deseja projetar o teto de um banheiro com a forma de uma elipse para uma residência de alto padrão. A elipse deve ter seu eixo maior com comprimento de 6 metros e seu eixo menor com comprimento de 4 metros. O cliente deseja que o teto seja simétrico em relação ao ponto mais alto, que coincide com o ponto central da elipse. Considerando a elipse como a cônica que resulta da interseção de um plano com um cone de revolução, e sabendo que a elipse é centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, como o arquiteto pode determinar a equação da elipse que representa o contorno do teto, de forma que possa coordenar o corte e a instalação do material do teto de maneira eficiente?

Um arquiteto precisa projetar uma nova passarela para uma cidade que terá a forma de um arco, o qual deverá ser construído de cabos de aço. A forma geométrica ideal para essa estrutura poderia ser, por exemplo, uma parábola, pois permite que os cabos de aço fiquem esticados uniformemente ao longo do arco, suportando melhor o peso das pessoas que a atravessam. Suponha que a passarela deva ter um vão de 40 metros entre os pontos de apoio e uma altura de 10 metros a partir do ponto mais baixo do arco até a linha reta que liga os pontos de apoio. Considerando essas informações e sabendo que a equação de uma parábola vertical com vértice em (h, k) pode ser representada por y = a(x-h)^2 + k, onde (h, k) é o vértice da parábola e a é um parâmetro que determina a 'abertura' da parábola: 1. Identifique os valores de h, k e a para uma equação que represente a forma desejada do arco. 2. Utilizando a equação encontrada, determine as coordenadas dos pontos do arco onde a altura é de 5 metros em relação à linha reta que liga os pontos de apoio.

Considere o ponto P(x, y) no plano cartesiano. O ponto P é tal que a distância de P até o foco F(0, 0) é 3 e a distância de P até a reta diretriz dada pela equação y = 4 é 4. Qual é a equação da cônica que contém os pontos que satisfazem essas condições?

Considere o sistema solar, onde diversos corpos celestes descrevem trajetórias elípticas em torno do Sol, obedecendo às leis de Kepler. Seja um objeto espacial hipotético que, durante um período de observação, forneça a seguinte posição em coordenadas retangulares tridimensionais (x, y, z) em função do tempo t: \[ \vec{r}(t) = (at^2, bt^3, ct) \] onde a, b e c são constantes reais e t é o tempo em segundos. Com base nessa informação e considerando que as trajetórias das órbitas planetárias possuem o formato de elipses, analise os seguintes itens: 1) Determine a equação da cônica que representa a projeção da órbita do objeto espacial no plano xy e identifique o tamanho dos semieixos e a excentricidade da elipse correspondente. 2) Se o objeto espacial passa pelas coordenadas (x, y, z) = (0, 0, 0) em um determinado tempo t0, determine uma equação paramétrica para a linha reta que conecta o objeto ao Sol, assumindo que o Sol esteja na origem do sistema de coordenadas.