Banco de questões: Geometria Analítica: Equação de Cônicas

Considere o ponto P(x, y) no plano cartesiano. O ponto P é tal que a distância de P até o foco F(0, 0) é 3 e a distância de P até a reta diretriz dada pela equação y = 4 é 4. Qual é a equação da cônica que contém os pontos que satisfazem essas condições?

Em um projeto de arquitetura, um designer está trabalhando com uma planta de uma sala retangular de dimensões 8m por 12m. Na nova proposta, o designer deseja instalar um sistema de iluminação LED que segue o contorno de uma parábola no teto, de forma que a luz seja distribuída de maneira uniforme. A equação da parábola que ele quer utilizar é dada por y = ax^2, onde x e y representam as coordenadas no plano do teto da sala. Sabendo que a iluminação deve cobrir toda a área do teto sem ultrapassá-lo, determine: (1) A equação completa da parábola que o designer deve utilizar, considerando que a sua forma padrão é y = ax^2. (2) O valor de 'a' para que a parábola se ajuste perfeitamente ao contorno do teto, levando em conta que x varia de -6m a 6m e y deve variar de 0 a 4m para cobrir toda a área retangular do teto.

Considere que um espelho côncavo parabólico seja representado pela equação y^2 = 4px, onde p é a distância do vértice do espelho até o ponto F (foco), ao longo do eixo x positivo. Um pequeno objeto luminoso é colocado a uma distância de 5 metros do vértice do espelho, sobre o eixo x, e projeta uma imagem sobre uma tela colocada paralelamente ao eixo y. Determine a posição e a natureza da imagem formada pelo espelho, considerando as leis da óptica e os princípios da Geometria Analítica das cônicas.

Considere o sistema solar, onde diversos corpos celestes descrevem trajetórias elípticas em torno do Sol, obedecendo às leis de Kepler. Seja um objeto espacial hipotético que, durante um período de observação, forneça a seguinte posição em coordenadas retangulares tridimensionais (x, y, z) em função do tempo t: \[ \vec{r}(t) = (at^2, bt^3, ct) \] onde a, b e c são constantes reais e t é o tempo em segundos. Com base nessa informação e considerando que as trajetórias das órbitas planetárias possuem o formato de elipses, analise os seguintes itens: 1) Determine a equação da cônica que representa a projeção da órbita do objeto espacial no plano xy e identifique o tamanho dos semieixos e a excentricidade da elipse correspondente. 2) Se o objeto espacial passa pelas coordenadas (x, y, z) = (0, 0, 0) em um determinado tempo t0, determine uma equação paramétrica para a linha reta que conecta o objeto ao Sol, assumindo que o Sol esteja na origem do sistema de coordenadas.

Um engenheiro civil está projetando o novo banheiro de uma residência, e deseja instalar um espelho elíptico de alta qualidade com as seguintes características: seu ponto central está alinhado com o lavatório, garantindo que o usuário possa ver claramente seu reflexo ao se lavar as mãos, e suas extremidades tocam precisamente os cantos laterais do banheiro em uma altura ideal de 1,8 metros. O engenheiro já definiu os focos do espelho elíptico, que estão situados em (2,4) e (5,4) no plano cartesiano de tal forma que o eixo maior do espelho é paralelo ao eixo das ordenadas. Para economizar material e otimizar o espaço de visualização, o engenheiro decidiu que o comprimento do eixo menor do espelho elíptico será metade do comprimento do eixo maior. Com base nesses parâmetros e conhecimentos de geometria analítica, como o engenheiro deve calcular as dimensões exatas do espelho elíptico que devem ser adquiridas? Considere π ≈ 3,14 e assuma que a unidade de medida é em metros.