Banco de questões: Geometria Analítica: Equação de Cônicas

Considere a cônica cuja equação é dada por 9x^2 + 4y^2 - 36x + 32y + 20 = 0. Identifique o tipo de cônica (elipse, hipérbole ou parábola) e demonstre, com base nas propriedades das cônicas e dos coeficientes da equação, que ela corresponde a uma elipse. Em seguida, determine o comprimento dos semieixos e a excentricidade da elipse.

Um arquiteto precisa projetar uma nova passarela para uma cidade que terá a forma de um arco, o qual deverá ser construído de cabos de aço. A forma geométrica ideal para essa estrutura poderia ser, por exemplo, uma parábola, pois permite que os cabos de aço fiquem esticados uniformemente ao longo do arco, suportando melhor o peso das pessoas que a atravessam. Suponha que a passarela deva ter um vão de 40 metros entre os pontos de apoio e uma altura de 10 metros a partir do ponto mais baixo do arco até a linha reta que liga os pontos de apoio. Considerando essas informações e sabendo que a equação de uma parábola vertical com vértice em (h, k) pode ser representada por y = a(x-h)^2 + k, onde (h, k) é o vértice da parábola e a é um parâmetro que determina a 'abertura' da parábola: 1. Identifique os valores de h, k e a para uma equação que represente a forma desejada do arco. 2. Utilizando a equação encontrada, determine as coordenadas dos pontos do arco onde a altura é de 5 metros em relação à linha reta que liga os pontos de apoio.

Considere o ponto P(x, y) no plano cartesiano. O ponto P é tal que a distância de P até o foco F(0, 0) é 3 e a distância de P até a reta diretriz dada pela equação y = 4 é 4. Qual é a equação da cônica que contém os pontos que satisfazem essas condições?

Um arquiteto está projetando um centro de convenções que contará com um grande espaço para eventos. Em uma de suas plantas, ele desenha a área de atuação de um refletor que é modelada pela equação de uma elipse no primeiro quadrante. Considerando que um dos eixos maiores da elipse é o eixo x e mede 20 metros, e que o foco da elipse está no ponto (0, 6), determine a equação da elipse que modela a área iluminada pelo refletor, sabendo que a elipse está centrada na origem do plano cartesiano.