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Banco de questões: Geometria Analítica: Equação de Cônicas (EM13MAT510)

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Questão 1:

Difícil

Um carpinteiro está desenhando um espelho elíptico para um armário de banheiro, que terá dimensões de 1 metro no eixo x e 0,6 metros no eixo y. O carpinteiro quer adicionar uma decoração ao longo da borda da forma elíptica, mantendo uma distância constante do centro. Ele decide que a decoração será uma série de 'petalas' de uma rosa matemática, onde cada petala é uma região limitada por dois raios que partem do centro e formam um ângulo θ medido em relação ao eixo x. Qual deve ser o ângulo máximo θ que o carpinteiro deve escolher para garantir que as petalas não ultrapassem a borda da elipse?
Geometria Analítica: Equação de Cônicas - EM13MAT510
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Questão 2:

Difícil

Uma empresa de design de interiores está desenvolvendo um armário de banheiro em forma de elipse para um cliente. O armário deve ser feito de madeira compensada e ter uma prateleira no seu interior que seguirá a forma da elipse. A equipe de design solicitou a ajuda de um professor de matemática para calcular as dimensões exatas da prateleira, levando em consideração que a elipse tem o eixo maior de 1,6 metros e o eixo menor de 1,2 metros. Com base nos conhecimentos de geometria analítica, determine a equação da elipse, identifique os focos e o ponto mais próximo de um dos focos à borda da elipse e, por fim, utilize essas informações para determinar a posição exata da prateleira em relação ao centro da elipse, sabendo que a prateleira deve ter uma margem de segurança de 5 centímetros de cada borda da elipse para garantir que ela se encaixe perfeitamente e permaneça estável.
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Questão 3:

Média

A família de cônicas, composta por circunferências, elipses, hipérboles e parábolas, é definida por equações que descrevem suas formas específicas, sendo cada uma delas distinta pelas características de seus parâmetros. Considere a equação 16x^2 - 25y^2 - 64x + 150y - 169 = 0, que representa uma cônica no plano. Com base nos conhecimentos sobre geometria analítica e as propriedades das cônicas, determine qual é o tipo de cônica representada por essa equação e os elementos que a caracterizam.
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Questão 4:

Fácil

Um arquiteto deseja projetar o teto de um banheiro com a forma de uma elipse para uma residência de alto padrão. A elipse deve ter seu eixo maior com comprimento de 6 metros e seu eixo menor com comprimento de 4 metros. O cliente deseja que o teto seja simétrico em relação ao ponto mais alto, que coincide com o ponto central da elipse. Considerando a elipse como a cônica que resulta da interseção de um plano com um cone de revolução, e sabendo que a elipse é centrada na origem de um sistema de coordenadas cartesianas, como o arquiteto pode determinar a equação da elipse que representa o contorno do teto, de forma que possa coordenar o corte e a instalação do material do teto de maneira eficiente?
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Questão 5:

Difícil

Enunciado: A NASA planeja lançar um novo satélite em órbita ao redor da Terra. A trajetória do satélite é planejada de forma que o perigeu (ponto mais próximo da Terra) esteja a 600 km da superfície terrestre e o apogeu (ponto mais afastado da Terra) seja a 1000 km da superfície terrestre. Para garantir que o satélite permaneça em uma órbita elíptica estável, a equipe de engenharia precisa modelar a trajetória usando o conceito de cônicas. Considerando que o centro da Terra é o foco da elipse da trajetória do satélite, e a excentricidade da órbita elíptica é um número real positivo que indica o quão 'achatada' é a elipse, determine: (1) A equação da elipse que representa a órbita do satélite, identificando o centro, os eixos maior e menor, e a excentricidade da elipse. (2) A inclinação do eixo maior da elipse em relação à linha do equador, dada em graus, considerando que a linha do equador é o plano de referência onde a Terra está localizada, e a direção norte-sul no plano é representada pela inclinação do eixo y no sistema de coordenadas. Escreva um parágrafo explicando como a solução obtida ajuda a equipe de engenharia a compreender e planejar a trajetória do satélite.
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