Banco de questões: Geometria Espacial: Relações Métricas dos Cones

Uma empresa de embalagens está desenvolvendo um novo modelo de cones para sorvetes. Cada cone fabricado possui uma altura de 15,00 cm e um raio da base de 6,00 cm. Para otimizar o material utilizado na produção, os engenheiros precisam calcular o comprimento da geratriz de cada cone. Qual é o comprimento da geratriz do cone?

Uma empresa de iluminação está projetando um moderno lustre em formato de cone invertido, que será instalado no hall de entrada de um edifício comercial. Para que o lustre tenha a altura ideal de 12 metros e o ângulo entre a geratriz e a base do cone seja de 60 graus, é necessário calcular o raio da base. Com base nessas informações, qual é o raio da base do lustre?

Um grande cone de trânsito é usado em atividades de segurança viária para sinalizar obras nas estradas. Este cone tem a forma de um cone reto, cuja altura mede 1 metro e a geratriz, que é a distância do vértice do cone a um ponto qualquer de sua base, mede 2 metros. Um pequeno inseto, que se move somente ao longo da superfície do cone, parte do vértice e percorre uma distância exata de 0,5 metros até chegar à base do cone. Qual é a distância, ao longo da superfície do cone, entre o ponto de partida do inseto e o ponto em que ele toca a base? Justifique matematicamente sua resposta, utilizando as relações métricas dos cones.

Um cilindro reto de raio base R e altura H é interceptado por um plano que forma um ângulo de 45 graus com a base do cilindro. A interseção do plano com o cilindro forma uma elipse. Um cone reto é formado por um segmento de reta que é tangente à elipse e passa pelo vértice do cone. Se o comprimento da geratriz do cone é o dobro do comprimento do eixo menor da elipse, e o cone tem volume igual a um terço do volume do cilindro, calcule a relação entre o raio da base do cone e o raio da base do cilindro.

Um engenheiro está projetando uma torre de resfriamento para uma usina termelétrica. A torre tem a forma de um cone e deve ter uma altura de 50 metros. Além disso, a base maior do cone deve ter um diâmetro de 60 metros para garantir a dissipação eficiente de calor. O espaço interno da torre será utilizado para a passagem do ar quente, que será resfriado naturalmente pela ação do vento, sem a necessidade de ventiladores. Considerando que o ar quente adentra a torre com uma velocidade constante e que essa velocidade está diretamente relacionada com o ângulo de abertura do cone, qual deve ser o ângulo de abertura do cone para que a velocidade média do vento, ao passar pela torre, seja de 10 m/s? Desconsidere efeitos de atrito e variação da densidade do ar devido à altura. Use 3 como valor aproximado para pi, quando necessário.