Banco de questões: Geometria Espacial: Relações Métricas dos Cones

Um arquiteto está projetando a cobertura de um edifício que terá a forma de um cone. A altura total do cone será de 50 metros e o ângulo formado entre a geratriz e o diâmetro da base é de 60 graus. Considerando que o seno de 60 graus é igual a raiz quadrada de 3 dividido por 2 e que o número pi é aproximadamente 3,14, calcule o raio da base do cone e a área total da superfície da cobertura, desprezando a parte decimal na área do círculo e considerando apenas duas casas decimais para o valor de pi na fórmula da área da superfície lateral do cone: pi * raio * geratriz.

Um cilindro reto de raio base R e altura H é interceptado por um plano que forma um ângulo de 45 graus com a base do cilindro. A interseção do plano com o cilindro forma uma elipse. Um cone reto é formado por um segmento de reta que é tangente à elipse e passa pelo vértice do cone. Se o comprimento da geratriz do cone é o dobro do comprimento do eixo menor da elipse, e o cone tem volume igual a um terço do volume do cilindro, calcule a relação entre o raio da base do cone e o raio da base do cilindro.

Um grande festival de música está sendo organizado e a estrutura principal é um megacone de base circular que servirá de palco central para as apresentações. O megacone tem uma altura de 30 metros e um diâmetro de 40 metros. Para garantir a segurança do evento, a equipe de engenharia deve calcular a quantidade mínima de material de revestimento necessário para cobrir toda a superfície do cone, que inclui a área da base. As lonas de revestimento são vendidas em rolos de 20 metros quadrados e a sobreposição entre os painéis de lona deve ser de 10%. Considerando que o ajuste e cortes devidos para folgas em torno do ponto de apoio do cone e da borda do palco já estão incluídos nessa quantidade, calcule o número mínimo de rolos de lona necessários para revestir completamente o megacone. Despreze a espessura do material de revestimento e utilize o valor de π como aproximadamente 3,14.

Considere uma lâmpada de formato cônico, cuja intensidade luminosa é diretamente proporcional à área da seção reta de sua luz. Se a lâmpada possui raio de base medindo 8 centímetros e altura de 15 centímetros, determine a relação entre a altura e o raio da base para que a intensidade luminosa seja maximizada. Baseando-se na relação métrica do cone, explique por que a área da seção reta do cone é maximizada quando a razão entre a altura e o raio é 2:1.

Um engenheiro está projetando uma torre de resfriamento para uma usina termelétrica. A torre tem a forma de um cone e deve ter uma altura de 50 metros. Além disso, a base maior do cone deve ter um diâmetro de 60 metros para garantir a dissipação eficiente de calor. O espaço interno da torre será utilizado para a passagem do ar quente, que será resfriado naturalmente pela ação do vento, sem a necessidade de ventiladores. Considerando que o ar quente adentra a torre com uma velocidade constante e que essa velocidade está diretamente relacionada com o ângulo de abertura do cone, qual deve ser o ângulo de abertura do cone para que a velocidade média do vento, ao passar pela torre, seja de 10 m/s? Desconsidere efeitos de atrito e variação da densidade do ar devido à altura. Use 3 como valor aproximado para pi, quando necessário.