Banco de questões: Geometria Espacial: Volume dos Cones

Em um projeto arquitetônico, uma sala de estar possui uma parede que é parcialmente cônica, formando uma estrutura que se assemelha a metade de um cone com a base reta encostada no chão. A ideia é criar um elemento de design único que não apenas otimize o espaço, mas também forneça um aspecto estético interessante. A sala tem, sobre essa parede cônica, uma claraboia circular de raio igual a 1,5 metros que permite a entrada de luz natural, destacando a geometria da estrutura. Se deseja-se revestir a superfície lateral interna dessa parede com um material que custa R$ 150,00 por metro quadrado, qual será o custo total do revestimento interno dessa superfície lateral? Considere que a medida do raio da base do cone que define a forma da parede é de 6 metros e que não será necessário revestir a superfície superior, pois esta estará acima do forro da sala.

Uma artista plástica está trabalhando na concepção de uma escultura com a forma de um cone, que servirá como uma espécie de megafone em uma instalação de arte interativa. A escultura precisa ter um volume interno de exatamente 4,5 m³ para garantir a propagação correta do som desejado. Além disso, a artista decidiu revestir a parte interna da escultura com um material especial, que custa R$ 150 por metro quadrado. Para determinar o custo total do revestimento interno, a artista precisa calcular não apenas a área interna do cone, mas também a área externa, já que o material será aplicado nas duas superfícies. Considerando que o cone tem altura de 3 metros, e sabendo que a tangente do ângulo formado pela geratriz e a base do cone é igual a 0,8, determine a área total a ser revestida e o custo total do revestimento interno da escultura. Considere π = 3,14 e despreze a espessura do material de revestimento.

Uma empresa de arquitetura recebeu a tarefa de projetar um novo auditório que terá a forma de um cone reto. O cliente solicita que o espaço interno do auditório seja ideal para proporcionar o melhor desempenho acústico possível, e para isso, é necessário estimar o volume interno do cone. Considerando que o cone terá 8 metros de altura e que o ângulo do vértice do cone medida é 60 graus, determine o volume interno do auditório. Em seguida, com o objetivo de calcular a quantidade de material necessária para revestir toda a superfície interna do auditório, incluindo o piso, use o conceito de área lateral e área de base do cone para calcular a área total da superfície interna.

Uma cidade decide construir um novo reservatório de água para atender a crescente demanda de sua população. O reservatório terá a forma de um cone reto e deverá armazenar exatamente 1000 metros cúbicos de água. Para isso, o engenheiro responsável pelo projeto precisa determinar as dimensões ideais do cone, levando em consideração que a espessura da parede do reservatório é negligenciável. Considerando que o volume V de um cone reto é dado pela fórmula V = (1/3) * pi * r^2 * h, onde pi é a constante pi, r é o raio da base e h é a altura do cone, e que pi é aproximadamente 3,14, calcule: 1. O raio r e a altura h do cone que resultam em um volume de 1000 metros cúbicos. 2. A área total da superfície do cone, que inclui a área da base e a área lateral, desprezando a espessura da parede. (Considere pi = 3,14 para os cálculos).

Uma empresa de arquitetura está projetando uma nova torre para o centro de uma cidade. A estrutura da torre segue um formato cônico, com uma altura de 80 metros e um raio de base de 20 metros. Além da estética e da resistência estrutural, é importante para o projeto estimar o volume e a área total da superfície da torre, pois isso influenciará o custo e o material necessário para construí-la. Com base nessa informação: 1) Calcule o volume da torre, considerando o formato cônico. 2) Determine a área total da superfície da torre, incluindo a área da base. Explique cada passo do seu raciocínio, demonstrando a aplicação da fórmula do volume de um cone e da fórmula da área total de um cone.