Banco de questões: Análise Combinatória: Nº de Soluções Inteiras Não Negativas

Em uma competição de matemática, três amigos, Ana, Bia e Carlos resolveram um total de 40 problemas durante um dia. Sabendo que cada um deles resolveu pelo menos um problema, quantas soluções inteiras e não negativas existem para a distribuição de resolução dos problemas entre os três amigos?

Uma escola está planejando distribuir 10 brindes entre suas três turmas: A, B e C, durante um evento especial. De quantas formas diferentes a direção pode alocar esses brindes, considerando que cada turma pode receber qualquer quantidade de brindes, inclusive nenhuma?

Em uma competição de matemática, os participantes devem resolver uma série de problemas interdisciplinares. Um desses problemas envolve a Análise Combinatória e a Física. O desafio é determinar o número de maneiras diferentes que um conjunto de três corpos pode ser colocado em um recipiente com dez divisões, de forma que os corpos não possam ocupar a mesma divisão e a ordem das divisões importa. Cada corpo é distinto e pode ser colocado em qualquer uma das divisões, mas uma vez que um corpo é colocado em uma divisão, ele não pode ser movido. Além disso, os corpos não podem ocupar mais de uma divisão ao mesmo tempo. Para resolver esse problema, os alunos precisam entender os conceitos de combinações e permutações, além de aplicar princípios da mecânica quântica que indicam que os corpos não podem ocupar o mesmo estado quântico. Considerando que a constante de Planck reduzida h-bar é igual a 1, e que a energia de cada estado quântico é um valor inteiro positivo, os alunos devem determinar o número de soluções inteiras não negativas para a equação x + y + z = 10, onde x, y e z representam a divisão ocupada por cada um dos três corpos. Como parte do raciocínio, os alunos devem justificar por que as soluções com corpos em estados quânticos idênticos são inviáveis de acordo com os princípios da física quântica.

Maria está vendendo balas para arrecadar dinheiro para a formatura de sua turma. Maria possui três tipos diferentes de balas: balas de morango, balas de uva e balas de caramelo. Ela precisa montar pacotes de 20 balas em cada um, sem restrições quanto ao número de cada tipo de bala. Quantos pacotes diferentes Maria pode montar? a) 21 b) 22 c) 231 d) 240 e) 100

Uma empresa precisa distribuir 10 brindes promocionais entre três diferentes departamentos: Marketing, Vendas e Desenvolvimento. Cada departamento pode receber qualquer número de brindes, incluindo nenhum. Considerando que a distribuição dos brindes deve ser feita de forma inteira e não negativa, quantas maneiras diferentes a empresa pode realizar essa distribuição?