Banco de questões: Análise Combinatória: Nº de Soluções Inteiras Não Negativas

Uma escola está organizando uma excursão e precisa distribuir 10 ingressos entre três grupos de estudantes: Grupo A, Grupo B e Grupo C. Cada grupo deve receber pelo menos 2 ingressos. Além disso, o número de ingressos destinados ao Grupo A deve ser pelo menos uma unidade maior que o número de ingressos destinados ao Grupo C. Quantas maneiras diferentes existem para realizar essa distribuição de ingressos obedecendo às condições estabelecidas?

Em uma competição de matemática, três amigos, Ana, Bia e Carlos resolveram um total de 40 problemas durante um dia. Sabendo que cada um deles resolveu pelo menos um problema, quantas soluções inteiras e não negativas existem para a distribuição de resolução dos problemas entre os três amigos?

Maria está vendendo balas para arrecadar dinheiro para a formatura de sua turma. Maria possui três tipos diferentes de balas: balas de morango, balas de uva e balas de caramelo. Ela precisa montar pacotes de 20 balas em cada um, sem restrições quanto ao número de cada tipo de bala. Quantos pacotes diferentes Maria pode montar? a) 21 b) 22 c) 231 d) 240 e) 100

Em uma competição de matemática, os participantes devem resolver uma série de problemas interdisciplinares. Um desses problemas envolve a Análise Combinatória e a Física. O desafio é determinar o número de maneiras diferentes que um conjunto de três corpos pode ser colocado em um recipiente com dez divisões, de forma que os corpos não possam ocupar a mesma divisão e a ordem das divisões importa. Cada corpo é distinto e pode ser colocado em qualquer uma das divisões, mas uma vez que um corpo é colocado em uma divisão, ele não pode ser movido. Além disso, os corpos não podem ocupar mais de uma divisão ao mesmo tempo. Para resolver esse problema, os alunos precisam entender os conceitos de combinações e permutações, além de aplicar princípios da mecânica quântica que indicam que os corpos não podem ocupar o mesmo estado quântico. Considerando que a constante de Planck reduzida h-bar é igual a 1, e que a energia de cada estado quântico é um valor inteiro positivo, os alunos devem determinar o número de soluções inteiras não negativas para a equação x + y + z = 10, onde x, y e z representam a divisão ocupada por cada um dos três corpos. Como parte do raciocínio, os alunos devem justificar por que as soluções com corpos em estados quânticos idênticos são inviáveis de acordo com os princípios da física quântica.