Banco de questões: Números Complexos: Igualdade Básica

Um engenheiro está projetando um circuito elétrico que utiliza componentes com impedâncias representadas por números complexos. Para que o circuito funcione corretamente, a soma das impedâncias deve ser igual a zero. Se um dos componentes tem uma impedância de 3 + 4i Ω, qual é a impedância necessária do segundo componente para satisfazer essa condição?

Em um sistema de comunicações, a impedância total Z_total é a soma de duas impedâncias complexas Z_1 e Z_2, onde Z_1 = (4 + 5i) Ω e Z_2 = (a + bi) Ω, sendo a e b números reais. Para que o sistema funcione de forma otimizada, a impedância total deve ser igual a Z_total = (9 + 12i) Ω. Quais são os valores de a e b que asseguram a igualdade básica entre os números complexos envolvidos?

Considere um número complexo z na forma retangular z = a + bi, onde a e b são reais e i^2 = -1. Sabe-se que z^2 - 3z + 3 = 0. Com base nessa equação, 1. Justifique por que a equação não possui solução real para z, considerando o discriminante. 2. Desenvolva um argumento para provar que z = 1 + i é uma solução da equação dada, sem utilizar a fatoração do polinômio em termos de z - (1 + i) e z - (1 - i). Explique a sua estratégia passo a passo, considerando as propriedades dos números complexos e a definição de operações entre eles.

Em um experimento de eletrônica, a impedância total de um circuito é representada por números complexos, onde a parte real corresponde à resistência e a parte imaginária à reatância. Se uma das impedâncias individuais do circuito é 2 + xi ohms e a impedância resultante desejada é 5 + 11i ohms, determine o valor de x que garante a igualdade das impedâncias.