Banco de questões: Números Complexos: Operações Básicas

Na construção de um sistema de som de alta tecnologia, engenheiros de áudio utilizam conceitos avançados de ondas sonoras e eletricidade para criar um ambiente imersivo. Uma das etapas cruciais para o funcionamento desse sistema envolve o processamento de sinais digitais, onde números complexos são utilizados para representar a amplitude e a fase de cada frequência sonora. Considere que um determinado sinal de áudio é representado matematicamente por um número complexo na forma retangular Z = (3 + 4i), onde i é a unidade imaginária. Após o sinal ser transmitido por uma série de equipamentos, a amplitude do sinal é multiplicada por 2 e a fase é deslocada por um ângulo de π/4 radianos no sentido anti-horário. Qual é a nova representação do sinal de áudio após essas operações?

Um físico está analisando as oscilações de um sistema mecânico representadas por números complexos. As amplitudes de duas oscilações são dadas por Z_1 = 2 + 3i e Z_2 = 1 - 4i. Para determinar a amplitude resultante quando a primeira oscilação é multiplicada pela segunda e, em seguida, dividida pela soma das duas oscilações, o físico precisa realizar uma série de operações com números complexos. Qual é a amplitude resultante do sistema?

Em um projeto de engenharia, um sistema de controle de temperatura utiliza números complexos para representar as fases e amplitudes das ondas de calor. Um dos componentes do sistema é responsável por ajustar a amplitude das ondas em uma proporção dada por um número complexo fixo. Esse componente recebe como entrada uma onda de calor representada pelo número complexo z = 3 + 4i e a ajusta multiplicando-a pelo número complexo fixo w = 2 - i. Ao receber a onda de calor z, o componente deve realizar a multiplicação e, em seguida, subtrair do resultado o número complexo conjugado de z. (a) Calcule o produto zw e simplifique o resultado. (b) Subtraia do resultado da multiplicação o número complexo conjugado de z e determine a parte real e a parte imaginária do resultado final. Explique como a operação de subtração afeta a fase e a amplitude da onda de calor representada pelo número complexo resultante.

Considere um sistema de comunicação que utiliza números complexos para representar sinais. Um sinal de entrada é dado por A - iB, onde A e B são números reais positivos, e i é a unidade imaginária. Este sinal é transmitido por um canal que introduz um desvio de fase representado por um número complexo C. O sinal recebido no final do canal é o resultado da multiplicação do sinal de entrada pelo desvio de fase, ou seja, (A - iB) * C. Dado que o desvio de fase C é um número complexo que pode ser representado na forma polar como Ce^(iθ), onde θ é o ângulo de fase eletromagnética, e que para um sinal claro de comunicação, a fase final deve ser um múltiplo inteiro positivo de π/2, determine qual deve ser o valor de θ para que a fase do sinal recebido permita uma comunicação sem interferências. Desconsidere a magnitude do sinal de entrada e do desvio de fase, focando apenas na fase dos números complexos envolvidos.