Banco de questões: Racionalização de Denominadores

Durante a avaliação do consumo energético de um edifício, os engenheiros desenvolvem uma fórmula que relaciona a eficiência energética E com diversas variáveis ambientais e estruturais. Em um ponto específico da análise, a eficiência é expressa pela fração E = 5 / (2 + √5). Para simplificar os cálculos de eficiência relativa, os engenheiros precisam racionalizar o denominador dessa expressão. Qual é a forma racionalizada da expressão E = 5 / (2 + √5)?

Em um projeto para construção de uma nova praça, um arquiteto deseja criar um espaço com um formato retangular que possua uma área total de 200 metros quadrados. Além disso, ele pretende instalar um sistema de iluminação que siga exatamente o contorno do parque, formando um perímetro que permita uma iluminação homogênea. Para garantir a harmonia do projeto, as dimensões do retângulo foram escolhidas de tal forma que a razão entre o comprimento e a largura seja representada pela fração (2 + √2)/√2. Com base no conceito de racionalização de denominadores, qual deve ser o comprimento, em metros, do retângulo projetado pelo arquiteto?

Em um experimento de física, uma partícula se move ao longo de uma linha reta de tal forma que sua posição em relação ao tempo é dada pela função s(t) = 5t^2 - 2√t + 3, onde s é a posição em metros e t é o tempo em segundos. Para analisar o movimento dessa partícula, é necessário calcular sua velocidade média no intervalo de tempo de 4 segundos a 5 segundos. Passo 1: Encontre a expressão para a velocidade média sabendo que a velocidade instantânea de um objeto é a derivada da função posição em relação ao tempo. Passo 2: Calcule a velocidade média no intervalo de tempo dado.

Durante a construção de uma passarela em uma cidade, os engenheiros precisam calcular a largura exata do acesso ao elevador panorâmico que leva os visitantes ao andar superior. A norma de segurança estabelece que a largura mínima do acesso deve ser suficiente para acomodar uma maca de resgate, que possui altura de 2 metros e largura de 0,8 metros. O acesso é projetado na forma de um arco, e para garantir a estabilidade estrutural, o arco é modelado pela função h(x) = 5 + √(25 - x^2), onde h(x) representa a altura do arco em metros no ponto x, contado a partir do centro do arco. Determine o valor de x para o qual a largura do acesso ao elevador é exatamente igual a 0,8 metros, e indique, em metros, a altura correspondente h(x) do arco nesse ponto.

Um prisma retangular tem uma altura que é o triplo de sua largura, e a sua base é um retângulo com lados medindo 2 e 4 unidades. Se a diagonal desse prisma forma um ângulo de 45 graus com duas arestas adjacentes da base, determine a medida dessa diagonal (em decimais) e expresse o resultado racionalizado, ou seja, sem raízes no denominador. Lembre-se de que, para o triângulo retângulo formado pela diagonal e metade da base do prisma, a tangente do ângulo entre a diagonal do prisma e a aresta da base é a razão entre a altura do prisma e a metade da base.