Banco de questões: Racionalização de Denominadores

Durante a avaliação do consumo energético de um edifício, os engenheiros desenvolvem uma fórmula que relaciona a eficiência energética E com diversas variáveis ambientais e estruturais. Em um ponto específico da análise, a eficiência é expressa pela fração E = 5 / (2 + √5). Para simplificar os cálculos de eficiência relativa, os engenheiros precisam racionalizar o denominador dessa expressão. Qual é a forma racionalizada da expressão E = 5 / (2 + √5)?

Em um experimento de química, um cientista precisa determinar a concentração de uma solução utilizando a fórmula C = k / (√m + √n), onde k, m e n são constantes conhecidas. Para simplificar os cálculos e facilitar a determinação da concentração, o cientista decide racionalizar o denominador da expressão C. Qual das seguintes expressões representa corretamente a expressão C após a racionalização do denominador?

Durante uma conferência sobre arquitetura sustentável, um engenheiro civil apresentou um projeto que envolve o uso de hastes metálicas em forma de tiras retangulares para reforçar uma estrutura de concreto. Essas tiras devem ser cortadas em comprimentos específicos, de forma que possam ser encaixadas de maneira eficiente. Em um dos projetos, o engenheiro precisava cortar uma tira de metal com exatas √10 metros de comprimento e dividi-la em partes proporcionais às dimensões de várias seções da estrutura. Chamou-se de 'parte racionalizada' aquela em que o comprimento pode ser representado por um número inteiro multiplicado por uma raiz quadrada, como, por exemplo, '3√2 metros'. Se o engenheiro precisar dividir a tira de √10 metros em duas partes, de forma que a razão entre o comprimento de uma parte racionalizada e o da outra parte seja de 2 para 3, quantos metros terá a menor parte racionalizada que o engenheiro precisa cortar? Considere que a tira de metal não pode ser cortada em frações e que todas as medidas são expressas em metros.

Durante uma aula de Física, um aluno se depara com a necessidade de calcular a impedância elétrica de um circuito que contém um indutor e um resistor. A impedância é dada pela expressão Z = R + jωL, onde R é a resistência do resistor (em ohms), ω é a frequência angular da corrente elétrica (em rad/s) e L é a indutância do indutor (em henrys). Para uma frequência angular de 100 rad/s, o aluno deve calcular a impedância do circuito que possui um indutor de 0,05 H. No entanto, a impedância pode ser melhor representada na forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Considerando que a frequência angular é dada e o aluno quer racionalizar o denominador da parte imaginária da impedância, qual é o procedimento matemático que o aluno deverá seguir para racionalizar a expressão da impedância?

Para construir uma rampa de acesso em uma construção, um arquiteto precisa calcular o comprimento da diagonal de um retângulo com base e altura de 6 metros e 8 metros, respectivamente. Ele sabe que a rampa deve formar um ângulo de 30 graus com o piso. Sabendo que a trigonometria pode ser aplicada para encontrar o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo, e que a razão entre o comprimento da hipotenusa e os catetos também pode ser usada para determinar essa medida, responda: (1) Qual é o comprimento da diagonal da rampa de acesso? (2) Se a diagonal encontrada no item anterior representasse um valor racionalizável, isto é, sem raízes no denominador, qual seria a expressão racionalizada para o comprimento da diagonal da rampa?