Banco de questões: Rotações de Figuras Planas

Um grupo de estudantes do 7º ano do Ensino Fundamental está trabalhando em um projeto de arte e matemática, onde eles devem criar padrões usando um triângulo equilátero como base e aplicar rotações de 90 graus para gerar novas figuras simétricas. O desafio proposto é o seguinte: Inicialmente, o grupo desenha um triângulo equilátero ABC com 6 cm de lado. Eles marcam o ponto médio de cada lado do triângulo, nomeando-os de D, E e F. Em seguida, eles desenham um novo triângulo equilátero DEF, onde cada lado mede metade do lado do triângulo ABC. Para completar o padrão, eles desenham um terceiro triângulo equilátero, nomeando os pontos médios dos lados do triângulo DEF como G, H e I. O desafio é identificar a área da região formada pela interseção dos três triângulos criados e o perímetro total dessa região. Além disso, calcular a área do terceiro triângulo equilátero. Considere que a tangente de 60 graus é igual a raiz quadrada de 3 e que a área de um triângulo equilátero é dada pela fórmula (lado^2 * raiz quadrada de 3) / 4, onde 'lado' é o comprimento de um lado do triângulo.

A produção de design para um novo aplicativo de jogos educacionais envolve a manipulação de figuras geométricas. Um dos desafios propostos é criar um conjunto de peças que, quando combinadas, formem um mosaico com simetrias de rotação. O designer tem em mãos um triângulo retângulo isósceles de 6 cm de hipotenusa, e deseja criar um mosaico que, ao ser rotacionado 90º no sentido anti-horário, preencha completamente uma região quadrada de 36 cm². Considerando apenas a área a ser preenchida pelo triângulo após a rotação, qual é a área dessa região quadrada que o triângulo ocupa no mosaico original, antes da rotação?

Durante a aula de Escultura e Matemática, os alunos são desafiados a criar uma escultura simétrica rotacional. O projeto consiste em uma escultura com três partes, cada uma representando um dos lados de um triângulo equilátero. Após a criação da escultura, o professor solicita que os alunos calculem as coordenadas dos vértices da escultura original e, em seguida, as coordenadas de cada vértice após uma rotação de 90° no sentido horário. Considerando que o vértice A do triângulo original está localizado no ponto (0,0), determine as coordenadas do vértice A' após a rotação de 90°. Além disso, avalie como a compreensão dos conceitos de coordenadas e rotações contribui para a interdisciplinaridade entre Matemática e Artes, permitindo a criação de esculturas simétricas e outros trabalhos artísticos.

Durante a confecção de um mosaico, um artista utiliza triângulos que são rotacionados em ângulos de 90 graus no sentido horário ao redor de um ponto fixo. Para garantir a repetição do padrão sem sobreposição, quantas rotações de 90 graus são necessárias para que cada triângulo retorne à sua posição original?

Na confecção de um mosaico, um estudante deseja utilizar diferentes formas geométricas, incluindo triângulos equiláteros, para criar um padrão simétrico. Para isso, ele decide usar a rotação de 90º (quartos de volta) em torno de um dos vértices dos triângulos já desenhados, formando uma sequência que se encaixe perfeitamente. Se o estudante começar com um padrão feito por três triângulos equiláteros, cada um com um lado medindo 2 cm, e deseja criar um novo padrão com a mesma área do padrão original, quantos triângulos equiláteros devem compor o novo padrão formado pela rotação de 90º?