Banco de questões: Trigonometria: Soma e Diferença de Arcos

Em uma aula de engenharia, um estudante precisa determinar a componente vertical de uma força aplicada em um ângulo de 75º em relação à horizontal. Para isso, ele decide utilizar a fórmula de soma de arcos para calcular o seno de 75º. Qual expressão representa corretamente o seno de 75º utilizando os senos e cossenos de 45º e 30º?

Durante uma viagem, um navegador utiliza um mapa e um compasso para calcular as direções que deve seguir. Ele observa que precisa navegar num ângulo de 75º e em outro momento num ângulo de 22,5º. Considerando suas habilidades em Matemática, ele se recorda das fórmulas de soma e diferença de arcos para calcular os valores das linhas trigonométricas. Utilizando essas fórmulas, realize os seguintes passos: 1) Calcule o valor do seno de 75º. 2) Calcule o valor do cosseno de 22,5º. 3) Encontre a tangente de 75º utilizando os resultados anteriores.

Considere um prisma reto de base quadrada com aresta da base medindo 6 cm e altura medindo 8 cm. Um raio de luz incide sobre a face lateral do prisma em um ângulo de 45 graus com a aresta da base. O raio de luz sofre refração ao passar pela face lateral e atinge a base do prisma. Para determinar o ponto de incidência na base do prisma, é necessário calcular o cosseno do ângulo de refração. Utilize a Lei de Snell (sen(ângulo de incidência)/sen(ângulo de refração) = índice de refração do segundo meio/índice de refração do primeiro meio) e o conceito de Soma ou Diferença de Arcos Trigonométricos para encontrar o cosseno do ângulo de refração. Considerando que o índice de refração do ar é aproximadamente 1 e o do material do prisma é 1,5, calcule o cosseno do ângulo de refração e, em seguida, determine o seno e o cosseno do ângulo correspondente na base do prisma. Para resolver essa questão, você precisará aplicar a fórmula de Soma ou Diferença de Arcos Trigonométricos e a Lei de Snell, além de conceitos básicos de trigonometria.

Em um dia ensolarado, João decidiu usar seus conhecimentos de trigonometria para calcular a altura de um prédio ao observar a sombra do prédio criada em relação à posição do sol. Ele observou dois ângulos com seu equipamento de medição: um de 60° inclinado para baixo do topo do prédio e outro de 30° inclinado para cima a partir do ponto onde a sombra termina. Qual é a altura do prédio, dado que a distância horizontal entre João e o ponto onde a sombra termina é de 20 metros?

Um observatório astronômico está posicionado de forma a ter uma visão do céu que varia entre 45º e 60º em relação ao solo. Com o auxílio de uma lente especial, o telescópio consegue observar uma faixa adicional de 15º. Qual é a medida, em graus, da amplitude de visão do telescópio através dessa lente, considerando a amplitude original e a faixa extra?