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Questão sobre Determinantes: Propriedades

Matemática

Originais Teachy

Determinantes: Propriedades

Fácil

(Originais Teachy 2024) - Questão Fácil de Matemática

Considere a seguinte situação contextualizada em um problema de Engenharia: uma empresa de construção está otimizando o uso de vigas de aço em um novo projeto de edifícios. Para garantir a segurança e a eficiência estrutural, a empresa deve assegurar que todos os trilhos de carga, representados pelas colunas de uma matriz A, possam ser suportados pelas vigas disponíveis. A matriz A, de ordem 3x3, representa as forças em cada direção em que as vigas devem ser capazes de suportar a carga. Seja B a matriz 3x3 que resulta de A após adição de 2 vezes a linha 1 à linha 2 e a subtração da linha 3 de A. (a) Calcule o determinante de B usando propriedades dos determinantes. (b) Explique como a propriedade de que o determinante de uma matriz é inalterado ao se somar a um múltiplo de uma linha a outra linha é aplicada neste contexto e qual é a importância desse resultado para o projeto de engenharia.

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Considere que a distribuição populacional de uma determinada espécie de mamíferos em uma vasta área de estudo pode ser modelada por um sistema de equações lineares, em que cada equação representa a proporção da população em relação a um determinado tipo de habitat. Para entender melhor a dinâmica populacional, um grupo de biólogos decidiu analisar as condições de contorno e a variação do determinante da matriz que representa esse sistema, a fim de determinar a estabilidade da população. A matriz obtida das equações apresenta a seguinte forma: A = [2, 1, 0; 1, 3, -1; 1, 2, 1]. Considerando as propriedades essenciais de determinantes e a interdisciplinaridade entre Matemática e Biologia, qual a interpretação biológica da variação do determinante dessa matriz, e como as condições de contorno do sistema podem ser refletidas no valor do determinante?

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Em uma competição de Matemática, os alunos foram desafiados a resolver problemas que envolviam o uso de determinantes. Uma proporção da pontuação final do concurso dependia da habilidade dos participantes em identificar as propriedades essenciais dos determinantes, que vão além do simples cálculo numérico. Considere a matriz A = [[a, 2, 3], [4, b, 6], [7, 8, c]]. Se os números a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão aritmética e o determinante de A é igual a 15, qual é o valor da razão da progressão?

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Volume: Blocos Retangulares • 'EF08MA21'

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Maria e João têm uma coleção de figurinhas e decidem trocar entre si. Maria tem o triplo de figurinhas que João, mas ao trocar, eles percebem que Maria deu a João 50 figurinhas e ficou com o dobro do que ele tinha antes da troca. Após a troca, João conta suas figurinhas e descobre que tem um total de 240 figurinhas. Considerando que antes da troca Maria tinha o triplo de João, e que as figurinhas de Maria e João são números naturais, determine quantas figurinhas Maria tinha antes da troca. Explique o raciocínio e as operações envolvidas.

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