(Originais Teachy 2023) - Questão Difícil de Matemática

Considere uma equação do segundo grau na forma geral ax^2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e a ≠ 0. Sejam r1 e r2 as raízes reais dessa equação. A soma das raízes, S, é dada por S = -b/a e o produto das raízes, P, é dado por P = c/a. Em um contexto onde a equação modela a trajetória de um projétil em um determinado campo gravitacional, sabe-se que a soma das raízes representa o ponto de altura máxima atingida pelo projétil e o produto das raízes está relacionado à distância percorrida horizontalmente pelo projétil durante o voo. Dado um valor constante k > 0 e sabendo que a equação a(x - r1)(x - r2) = k, onde r1 e r2 são as raízes da equação, responda: (1) Qual a relação entre o valor de k e a altura máxima atingida pelo projétil? (2) Considerando que o projétil é lançado de uma altura inicial h0 e que a equação do movimento parabólico é dada por -g/2 * t^2 + v0t + h0, onde g é a aceleração devida à gravidade e v0 é a velocidade inicial do projétil, como a soma e o produto das raízes da equação do segundo grau estão relacionadas com a altura máxima e o alcance horizontal do projétil, respectivamente? Explique o raciocínio matemático e físico envolvido, destacando a importância dos coeficientes e das raízes no contexto do problema.