Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema do Resto e o conceito de interpolação polinomial. O Teorema do Resto nos diz que o resto da divisão de um polinômio \( P(x) \) por um binômio \( (x - c) \) é igual a \( P(c) \). Dado que o polinômio \( P(x) \) deixa restos 2, 3 e 5 quando dividido por \( x-2 \), \( x-3 \) e \( x-5 \), respectivamente, podemos escrever as seguintes equações com base no Teorema do Resto: 1. \( P(2) = 2 \) 2. \( P(3) = 3 \) 3. \( P(5) = 5 \) Agora, queremos encontrar o resto da divisão de \( P(x) \) por \( (x-2)(x-3)(x-5) \). O resto dessa divisão será um polinômio de grau menor que 3, pois estamos dividindo por um polinômio de grau 3. Portanto, o resto pode ser um polinômio de grau 0 (uma constante), grau 1 (uma linha reta), grau 2 (uma parábola), etc. Como temos três condições, o resto será um polinômio de grau no máximo 2. Vamos supor que o resto seja um polinômio de grau 2, da forma \( R(x) = ax^2 + bx + c \). No entanto, como o grau de \( P(x) \) é maior que 3 e estamos interessados no resto da divisão por um polinômio de grau 3, o grau do resto deve ser no máximo 2. Mas, se considerarmos as condições dadas, podemos perceber que o resto não pode ser um polinômio de grau 2, pois isso implicaria em mais condições do que as que temos. Portanto, o resto deve ser um polinômio de grau 1 ou 0. Se o resto fosse uma constante (grau 0), então ele teria que ser igual a 2, 3 e 5 ao mesmo tempo, o que é impossível. Portanto, o resto deve ser um polinômio de grau 1, ou seja, da forma \( R(x) = ax + b \). Agora, aplicamos as condições que temos: 1. \( R(2) = 2a + b = 2 \) 2. \( R(3) = 3a + b = 3 \) 3. \( R(5) = 5a + b = 5 \) Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: \( 3a + b - (2a + b) = 3 - 2 \) \( a = 1 \) Agora, substituímos o valor de \( a \) em uma das equações para encontrar \( b \): \( 2a + b = 2 \) \( 2(1) + b = 2 \) \( b = 0 \) Portanto, o resto da divisão de \( P(x) \) por \( (x-2)(x-3)(x-5) \) é \( R(x) = ax + b = x + 0 = x \). A resposta correta é a alternativa (c) \( x \).