Introdução

Relevância do Tema

• O estudo da área do Hexágono é fundamental na Matemática, particularmente na Geometria, pois o Hexágono é uma das formas mais importantes e aparentes na natureza e na arquitetura.

  • Em Biologia, encontramos as estruturas hexagonais das células de um favo de mel.

  • Na Física, o hexágono está presente nas moléculas de carbono.

  • Na Engenharia, as estruturas hexagonais são frequentemente usadas devido à sua eficiência em termos de resistência e distribuição de forças.

• Além disso, o estudo da área do Hexágono permite que exploremos conceitos como raiz quadrada de 3, propriedades de polígonos regulares e a relação entre a circunferência e o lado de um hexágono, que estabelecem as bases para tópicos mais avançados em Matemática.

Contextualização

• A Área do Hexágono se insere na unidade de Geometria Plana, onde estudamos as figuras e suas características no plano.

• Após dominar o cálculo da área do triângulo e do quadrado, adentrar no mundo do hexágono permite um aprofundamento dos conhecimentos sobre cálculo de áreas de polígonos.

• O hexágono é um polígono regular de seis lados e ângulos internos de 120 graus, proporções que se repetem em outras figuras.

• O cálculo da sua área não somente expande o nosso entendimento sobre polígonos, mas também nos fornece ferramentas fundamentais para resolver problemas práticos que envolvem tais formas, como o cálculo de áreas de terrenos, plantações, pinturas, entre outros.

• Por fim, o estudo da área do hexágono é um passo crucial para o entendimento de conceitos mais avançados, como o cálculo de áreas de figuras tridimensionais e o cálculo integral na análise matemática.

Desenvolvimento Teórico

Componentes

• Polígonos Regulares: São figuras geométricas planas fechadas formadas por segmentos de retas congruentes (de mesmo tamanho). Todos os ângulos internos e lados dos polígonos regulares são iguais.

  • O hexágono é um exemplo de polígono regular, com todos os lados e ângulos internos de medidas iguais.
  • O estudo do hexágono regular proporciona uma exploração inicial de conceitos práticos em geometria e permite demonstrar a aplicabilidade de tais conceitos no mundo real.

• Diagonal do Hexágono Regular: Uma diagonal de um polígono é um segmento de linha que liga dois vértices não consecutivos.

  • A diagonal do hexágono regular pode ser dividida em duas partes: uma parte que é igual ao lado do hexágono e outra parte que se estende além do hexágono.
  • Entender a relação entre o lado do hexágono e a diagonal nos permite calcular a diagonal e, consequentemente, contribui para o cálculo da área do hexágono.

• Triângulos Equiláteros e Raiz Quadrada de 3: No hexágono regular, os ângulos internos são todos de 120 graus, formando triângulos equiláteros em cada um deles.

  • A relação entre a altura do triângulo equilátero, que é a medida do segmento de reta que parte do vértice e é perpendicular à base, e o lado do triângulo, que é a medida das três arestas congruentes que formam a base, é de √(3):1.
  • Como os triângulos equiláteros são presentes em um hexágono regular, a medida da altura do triângulo (√(3)xlado) auxilia no cálculo da área do hexágono.

Termos-Chave

• Polígonos Regulares: São figuras planas e poligonais cujos lados e ângulos internos são iguais.
• Diagonal: É o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos de um polígono.
• Triângulo Equilátero: É um polígono regular de três lados iguais e três ângulos iguais (todos medindo 60 graus).
• Raiz Quadrada de 3: Representa a altura de um triângulo equilátero em relação ao seu lado.

Exemplos e Casos

• Exemplo 1: Se o lado de um hexágono regular mede 8 cm, podemos calcular sua área da seguinte maneira:

  • Primeiro, calculamos a altura do triângulo equilátero. Como o lado do hexágono é 8 cm, a altura é √(3)x8.
  • Em seguida, calculamos a área do triângulo que compõe o hexágono (base x altura/2). A base é 8 cm e a altura, como calculado anteriormente, é √(3)x8. Portanto, a área do triângulo é 32√(3) cm².
  • Por fim, multiplicamos a área do triângulo pelo número de triângulos no hexágono, que é 6, para obter a área total do hexágono, que é 6x32√(3) = 192√(3) cm².

• Exemplo 2: Se a diagonal de um hexágono regular mede 12 cm, o cálculo da sua área é um pouco diferente:

  • Primeiro, precisamos calcular o lado do hexágono. Como a diagonal é uma bissetriz do triângulo equilátero formado por dois lados do hexágono e a diagonal, dividimos a diagonal por √(3) para obter o valor do lado. Portanto, o lado do hexágono é 12/√(3).
  • Em seguida, calculamos a área do triângulo que compõe o hexágono (base x altura/2). A base, como calculado anteriormente, é 12/√(3) e a altura é (12/√(3))x√(3). Portanto, a área do triângulo é 72 cm².
  • Por fim, multiplicamos a área do triângulo pelo número de triângulos no hexágono, que é 6, para obter a área total do hexágono, que é 6x72 = 432 cm².

• Exemplo 3: Se você possui um terreno de forma hexagonal e os lados medem 10 metros, você pode usar o cálculo da área do hexágono para determinar a quantidade de grama necessária para cobri-lo. A área total do terreno será 6x(100√(3)/4) m², que é igual a 259.8 m². Portanto, você precisaria de aproximadamente 260 m² de grama para cobrir o terreno.

Esses exemplos ilustram como o cálculo da área do hexágono pode ser aplicado em várias situações práticas, desde a matemática da sala de aula até a vida cotidiana e o mundo profissional.

Resumo Detalhado

Pontos Relevantes

• O Hexágono como Polígono Regular: Um hexágono possui seis lados e ângulos internos de 120 graus cada. Este é um exemplo de polígono regular, onde todos os lados e ângulos internos são iguais. Este conceito é essencial para o estudo da área do hexágono.

• Relação Lado-Diagonal: Em um hexágono regular, a diagonal pode ser dividida em duas partes: uma parte que é igual ao lado do hexágono e outra parte que se estende além do hexágono. Isso nos permite estabelecer uma relação entre o lado do hexágono e a diagonal, que é crucial para o cálculo da área.

• Triângulos Equiláteros no Hexágono: Cada ângulo interno do hexágono regular mede 120 graus, o que cria triângulos equiláteros em cada um dos lados. Saber que a altura de um triângulo equilátero é a raiz quadrada de 3 vezes o comprimento do lado, nos permite calcular a área do hexágono.

Conclusões

• A Área do Hexágono: A área de um hexágono regular pode ser calculada multiplicando o comprimento do lado pelo apótema (raio do círculo inscrito) e, em seguida, multiplicando o resultado pela metade do número de lados (neste caso, 6).

• Aplicabilidade: As habilidades matemáticas aprendidas com o cálculo da área do hexágono têm um amplo espectro de aplicações na vida real, desde o design de moléculas e células até a arquitetura e a engenharia.

Exercícios Sugeridos

1. Cálculo da Área: Um terreno tem a forma de um hexágono regular com o comprimento do lado medindo 15 metros. Calcule a área total deste terreno.

2. Cálculo da Diagonal: A diagonal de um hexágono regular mede 18 centímetros. Qual é o comprimento do lado do hexágono? E qual é a sua área?

3. Aplicações na Prática: Imagine que você esteja projetando uma parede com formato hexagonal e precise saber a quantidade de tinta necessária para cobri-la. Se um litro de tinta consegue cobrir uma área de 10 metros quadrados, e a parede tem a forma de um hexágono regular com lado 5 metros, quantos litros de tinta serão necessários?