Apresentação

Relevância do Tema A função do primeiro grau, também conhecida como função afim, é um componente crucial do currículo de matemática. Por que é importante? Ela modela uma infinidade de situações do mundo real de maneira simples e precisa: desde taxas de crescimento, despesas, até previsões meteorológicas. Além disso, é uma introdução à álgebra, sentando as bases para funções mais complexas e tópicos avançados de matemática.

Contextualização No vasto campo da matemática, a função do primeiro grau é uma das primeiras paradas após a exploração dos números, das operações aritméticas fundamentais e das relações de proporção. Situada na intersecção entre a aritmética e a álgebra, a função do primeiro grau permite a compreensão quantitativa de muitos fenômenos do dia a dia, de maneira eficiente e elegante. Além disso, é uma base para a compreensão de outros tópicos matemáticos, como a geometria analítica e as funções exponenciais e logarítmicas. A construção de gráficos e tabelas para funções do primeiro grau facilita a visualização dessas relações, permitindo uma interpretação mais fácil e imediata dos dados. Compreender esse tema abre a porta para uma compreensão mais aprofundada da matemática e sua aplicação na vida cotidiana e em outras disciplinas.

Desenvolvimento Teórico

Componentes

• O que é uma Função do Primeiro Grau?

  • É uma função matemática que pode ser representada graficamente por uma linha reta.
  • É também conhecida como função afim, pois sua representação gráfica sempre gera uma reta.
  • Sua expressão geral é da forma f(x) = mx + b, onde m é a taxa de variação e b é a ordenada de origem.

• Representando a Função do Primeiro Grau em Tabela e Gráfico

  • A tabela é uma forma organizada de apresentar os pares ordenados (x, y) que pertencem à função.
  • O gráfico, por sua vez, é um modelo visual que nos permite ver a relação entre x e y, representando o comportamento da função.
  • Para criar a tabela, escolhemos valores para x, substituímos na expressão da função e calculamos os valores correspondentes de y.
  • No gráfico, os pares (x, y) são representados no plano cartesiano, onde o eixo x representa as entradas (x) da função e o eixo y representa as saídas (y) da função. Cada par é representado por um ponto no gráfico.

Termos-Chave

• Função: Uma relação ou correspondência entre dois ou mais conjuntos, em que cada elemento do primeiro conjunto tem uma associação com um ou mais elementos no segundo conjunto.
• Primeiro Grau: Refere-se ao grau ou à potência mais alta ao qual uma variável é elevada em uma expressão algébrica. No caso das funções de primeiro grau, a variável só aparece com expoente 1.
• Gráfico de uma Função: É uma representação visual da função no plano cartesiano, um sistema de coordenadas que utiliza dois eixos perpendiculares, o eixo x (horizontal) e o eixo y (vertical).
• Tabela de Valores: É uma forma organizada de apresentar os dados correspondentes de uma função, mostrando, geralmente, um conjunto de entradas e as saídas correspondentes.

Exemplos e Casos

• Exemplo 1:

  • Consideremos a função f(x) = 3x + 2.
  • Escolhendo alguns valores para x, podemos montar a tabela de valores e, em seguida, plotar esses valores no gráfico.
  • Se x = 0, então y = 3(0) + 2 = 2. Logo, o ponto (0, 2) pertence à função.
  • Se x = 1, então y = 3(1) + 2 = 5. Logo, o ponto (1, 5) pertence à função.
  • Se x = -1, então y = 3(-1) + 2 = -1. Logo, o ponto (-1, -1) pertence à função.
  • Plotando esses três pontos no gráfico e unindo-os com uma reta, temos uma representação gráfica da função.

• Exemplo 2:

  • Suponha que uma empresa ofereça um salário fixo de R$ 1.500,00 mensais, mais um valor de R$ 50,00 por cada hora extra trabalhada.
  • A função que descreve o salário, S, em função das horas extras trabalhadas, H, é dada por S(H) = 50H + 1500.
  • Montando a tabela e o gráfico de valores, podemos visualizar a relação entre horas extras e salário de forma mais clara.

Resumo Detalhado

Pontos Relevantes

• Definição de Função do Primeiro Grau: Esta função é uma relação matemática que gera uma linha reta no gráfico. Ela é expressa pelo modelo f(x) = mx + b, onde m é a taxa de variação e b é a ordenada de origem. A compreensão desta definição fundamental é crucial para realizar análises e previsões futuras.
• Interpretação do Gráfico e da Tabela: Gráficos e tabelas são ferramentas essenciais na compreensão e representação da função do primeiro grau. O gráfico, que é uma representação visual da função no plano cartesiano, nos permite ver facilmente o comportamento da função. A tabela, por outro lado, organiza os pares ordenados (x, y) correspondentes à função para facilitar a leitura e o entendimento.

Conclusões

• Relação Direta: Em uma função do primeiro grau, a taxa de variação (m) representa uma relação constante, o que configura uma relação direta entre as duas variáveis. O significado disso é: à medida que x aumenta (ou diminui), y também aumenta (ou diminui) na proporção definida por m.
• Ordenada de Origem: O valor b na expressão da função (f(x) = mx + b) determina o ponto de interseção com o eixo y, também conhecido como ordenada de origem. Isso implica que, independentemente da variação em x, y sempre terá esse valor b inicial, o que pode ser interpretado como um valor fixo, mesmo sem a existência de x.

Exercícios Sugeridos

1. Exercício 1: Escreva a função do primeiro grau que descreve a situação "Uma loja vende camisetas a R$50,00 cada uma, mais R$10,00 fixos de despesas." A partir desta função, crie uma tabela e um gráfico, e determine qual seria o lucro da loja se ela vendesse 5 camisetas.
2. Exercício 2: Considere a função f(x) = 2x + 3. Calcule os valores de f(-2), f(0) e f(4), e interprete o que esses valores representam no contexto da função. Plote também esses pontos em um gráfico e trace a reta correspondente.
3. Exercício 3: Dada a função f(t) = 20t + 500, onde t representa o número de horas trabalhadas e f(t) representa o salário em reais. Determine o salário para 40 horas de trabalho, crie uma tabela para t variando de 0 a 50, e plote a função correspondente.