Introdução aos Números Complexos: Produto e Divisão

Relevância do Tema

O estudo dos números complexos é indispensável à Matemática, pois estende o conjunto dos números reais de maneira a permitir a solução de expressões que não seriam possíveis sem ele. A introdução deste tópico representa uma quebra de paradigma e a abertura de um vasto campo de investigação matemática.

Contextualização

Ao chegar ao 3º ano do Ensino Médio, já temos um sólido alicerce sobre os números reais e suas operações. Além disso, provavelmente já tivemos contato com a noção de números imaginários, que são a raiz quadrada de números reais negativos, como o -1.

Os números complexos são uma expansão natural dos números reais, pois permitem a adição de uma segunda dimensão, a parte imaginária. Assim, os números complexos são formados por uma parte real e uma parte imaginária somadas entre si.

Neste ponto, ao estudar o produto e a divisão de números complexos, estamos explorando a riqueza do conjunto dos números complexos, aprofundando nosso entendimento sobre suas operações e suas propriedades, e fortalecendo nossa habilidade em resolver problemas mais complexos.

Desenvolvimento Teórico

• Números Complexos: Os números complexos z são da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, definida por i² = -1. A parte real de z, representada por Re(z), é o número a, e a parte imaginária, representada por Im(z), é o número bi.

• Produto de Números Complexos: O produto de dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i é calculado utilizando a propriedade distributiva da multiplicação:

  z1 * z2 = (a1 + b1i) * (a2 + b2i) = a1a2 + a1b2i + a2b1i + b1b2i² = a1a2 + (a1b2 + a2b1)i + b1b2i²

  Lembre-se que i² = -1, então temos que i² * b1b2 = -b1b2. Portanto, o produto final fica da forma:

  z1 * z2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i

• Divisão de Números Complexos: A divisão de dois números complexos z1 = a1 + b1i e z2 = a2 + b2i é feita multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador (a2 - b2i):

  (z1/z2) = (a1 + b1i) / (a2 + b2i) = (a1 + b1i) * (a2 - b2i) / (a2 + b2i) * (a2 - b2i) = (a1a2 - b1b2 + (a1b2 - a2b1)i) / (a2a2 - b2b2) = (a1a2 - b1b2 + (a1b2 - a2b1)i) / (a2² + b2²)

  Portanto, o quociente final fica da forma:

  (z1/z2) = (a1a2 + b1b2) / (a2² + b2²) + (a2b1 - a1b2)i / (a2² + b2²)

  Observe que o denominador não é zero. Caso seja, a divisão é indefinida.

Resumo Detalhado

Pontos Relevantes

• Constituição dos Números Complexos: Os números complexos são formados por uma parte real e uma parte imaginária, sendo que a unidade imaginária i é a raiz quadrada de -1. Portanto, um número complexo pode ser representado como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária.

• Operação de Produto de Números Complexos: O produto de dois números complexos é realizado considerando que i² = -1. Dessa forma, a operação de multiplicação entre os termos reais e imaginários dos dois números complexos é realizada e, ao final, a parte i² é substituída por -1:

  z1 * z2 = a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i

• Operação de Divisão de Números Complexos: A divisão de dois números complexos z1 e z2 é realizada multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Após a multiplicação, a expressão é simplificada para representar o número complexo na forma a + bi:

  (z1/z2) = (a1a2 + b1b2) / (a2² + b2²) + (a2b1 - a1b2)i / (a2² + b2²)

Conclusões

• O domínio dos números complexos e suas operações permite lidar com uma gama mais ampla de expressões matemáticas. As operações de produto e divisão entre números complexos são essenciais nessa expansão.

• A operação de produto entre números complexos inclui a multiplicação dos termos reais e imaginários, bem como a manipulação da expressão i² para representar o resultado na forma a + bi.

• A operação de divisão entre números complexos é realizada multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Isso garante que o denominador seja um número real, o que facilita a simplificação da expressão.

Exercícios Sugeridos

1. Realize o produto dos números complexos z1 = 3 + 2i e z2 = -1 + 5i.

2. Divida os números complexos z1 = 6 - 4i por z2 = 2 + i. Verifique se a divisão é indefinida.

3. Escreva o número complexo z3 = 4 - 7i na forma polar (módulo-argumento).