Definição e Aplicações; Multiplicação de Matrizes; Propriedades Essenciais; Matriz Inversa e 'Divisão'; Exemplos e Desafios

Multiplicação e Divisão de Matrizes

Multiplicação e Divisão de Matrizes

Explore a multiplicação e 'divisão' de matrizes e suas aplicações.

Sumário

• Definição e Aplicações

• Multiplicação de Matrizes

• Propriedades Essenciais

• Matriz Inversa e 'Divisão'

• Exemplos e Desafios

Introdução às Matrizes

Uma matriz é uma tabela retangular de números organizada em linhas e colunas. Sua dimensão é dada por m x n, onde m são as linhas e n as colunas, e cada elemento é a_ij.

Matrizes: adição, multiplicação escalar e multiplicação de matrizes.

Por Que Multiplicar Matrizes?

Matrizes modelam sistemas complexos. Sua multiplicação é crucial em computação gráfica para transformações de imagens, em criptografia para codificação de dados, e na engenharia para análise estrutural. Essencial para simular e resolver problemas reais.

Condição de Existência

• Número de colunas da 1ª matriz = número de linhas da 2ª.

• Ex: A(2x3) x B(3x4) é possível. Resulta C(2x4).

• Ex: A(3x2) x B(3x4) NÃO é possível (2 ≠ 3).

• Para A(m x n) x B(p x q), a condição é n = p.

Dimensão da Matriz Resultante

Se a condição de existência é satisfeita, a matriz produto C (m x q) terá o número de linhas da primeira matriz (m) e o de colunas da segunda (q). Exemplo: se A é (2x3) e B é (3x4), C será (2x4).

O Processo: Linha por Coluna

Para multiplicar matrizes, cada elemento da matriz resultante é a soma dos produtos dos elementos de uma linha da primeira matriz pelos da coluna correspondente da segunda matriz. Este método é fundamental para diversas aplicações. Observe exemplos para consolidar o entendimento.

Exemplo Prático 1 (2x2)

Para multiplicar matrizes 2x2, cada elemento da matriz resultante é o produto escalar de uma linha da primeira matriz por uma coluna da segunda. Observe o processo passo a passo para M x N.

Exemplo Prático 2 (2x3 por 3x2)

Ao multiplicar uma matriz 2x3 por uma 3x2, as dimensões internas (3) devem ser iguais. O produto é uma matriz 2x2, com as dimensões externas. Observe o processo de cálculo.

Igualdade de matrizes: elementos correspondentes devem ser iguais.

Exemplo Prático 3 (3x2 por 2x1)

• Matriz A (3x2) multiplicada por Matriz B (2x1).

• Verificação: (3x2) x (2x1) resulta em (3x1).

• Cada elemento C_ij é a soma dos produtos.

• O produto AB é uma matriz coluna 3x1.

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