A Mediana

# A Mediana [Sequence 4] Eu, Harry Potter, aprendi em Hogwarts que certas medidas mágicas revelam o "coração" de um conjunto — o ponto exato que divide tudo ao meio. Em estatística, esse papel pertence à **mediana**: a medida que separa uma amostra de dados exatamente na metade. Nas últimas aulas, você calculou médias aritméticas simples e ponderadas. Agora, vamos investigar juntos uma ferramenta diferente, que funciona muito bem quando os dados têm valores muito altos ou muito baixos. ## O que é a Mediana? A **mediana** é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados quando eles estão organizados em ordem crescente ou decrescente. Esse único valor divide a amostra em duas partes iguais: metade dos dados fica abaixo dele e a outra metade, acima. Pense nisso como magia, mas completamente lógica: se uma turma tem 7 notas e você as coloca em fila do menor para o maior, a mediana é simplesmente a nota que fica no meio dessa fila. Por isso, diferentemente da média, ela não é influenciada por valores extremos — um único número fora do comum não a desloca do centro. **Images:** - [PLOT] Diagrama de reta numérica com 7 pontos (valores: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) marcados e uma seta destacando o valor central (6), com a palavra "Mediana" indicada por uma seta. Estilo limpo, cores azul e laranja. | mediana-reta-numerico.png | 16:9 ## Como Calcular a Mediana: Passo a Passo Para calcular a mediana de qualquer amostra, eu sigo três passos — e recomendo você fazer o mesmo: **Passo 1 — Organize os dados:** Liste todos os valores em ordem crescente (do menor para o maior). Nunca tente encontrar a mediana com dados fora de ordem! **Passo 2 — Conte os elementos:** Verifique se a quantidade total de valores é **ímpar** ou **par**. Esse detalhe determina como o próximo passo é feito. **Passo 3 — Identifique o centro:** - Se a quantidade for **ímpar**, a mediana é o único valor central. Sua posição é dada por: posição = (n + 1) ÷ 2, onde n é o número total de elementos. - Se a quantidade for **par**, não há um único valor central — existem dois. As posições desses dois valores são n ÷ 2 e (n ÷ 2) + 1. A mediana é a **média aritmética** entre esses dois valores centrais. **Images:** - [PLOT] Tabela comparativa com duas colunas: "Quantidade ímpar (n = 5)" com os dados {2, 5, **7**, 9, 11} destacando o valor central em negrito, e "Quantidade par (n = 4)" com os dados {2, 5, 7, 9} destacando os dois valores centrais e mostrando o cálculo (5+7)÷2 = 6. Cores contrastantes, tipografia clara para 8º ano. | mediana-impar-par.png | 3:2 ## Exemplos Resolvidos **Exemplo 1 — Quantidade ímpar de elementos** Uma pesquisadora registrou o número de horas de sono de 5 adolescentes: 9, 7, 6, 8, 5. - Passo 1 — Ordenar: {5, 6, 7, 8, 9} - Passo 2 — Contar: n = 5 (ímpar) - Passo 3 — Posição central: (5 + 1) ÷ 2 = 3ª posição → valor = **7** A mediana é **7 horas**. Dois adolescentes dormem menos de 7 horas e dois dormem mais — o valor 7 ocupa exatamente o centro da distribuição ordenada. **Exemplo 2 — Quantidade par de elementos** Os preços de uma mochila escolar em 6 papelarias foram (em R$): 55, 42, 68, 37, 50, 60. - Passo 1 — Ordenar: {37, 42, 50, 55, 60, 68} - Passo 2 — Contar: n = 6 (par) - Passo 3 — Dois valores centrais: posições n ÷ 2 = 3 e (n ÷ 2) + 1 = 4 → valores 50 e 55. Mediana = (50 + 55) ÷ 2 = **R$ 52,50** A mediana indica que metade das papelarias cobra até R$ 52,50 e a outra metade cobra mais. Em resumo, a mediana é calculada ordenando os dados, identificando a quantidade de elementos e localizando o(s) valor(es) central(is) — com uma etapa extra de média apenas quando a quantidade for par. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre mediana e medidas de tendência central na plataforma Teachy] [chapter-section: Sabia?] Em pesquisas sobre renda, a mediana é preferida à média. Em 2023, a renda média domiciliar brasileira era mais alta do que a mediana, pois um pequeno grupo de famílias muito ricas eleva a média — mas não altera a mediana. Por isso, o IBGE frequentemente divulga a **renda mediana** para representar melhor a situação da maioria das famílias. [chapter-section: Zoom] Imagine que uma turma tem as seguintes notas: {3, 7, 7, 8, 9}. Qual é a mediana? Agora acrescente um valor extremo de 50 ao conjunto: {3, 7, 7, 8, 9, 50}. O que acontece com a mediana? E com a média? Por que os resultados são diferentes? *Pense: quantos valores mudam de posição central ao acrescentar o 50?* --- ## Na prática [Sequence 5] Em Hogwarts, eu aprendi que praticar um feitiço é tão importante quanto entendê-lo. Você já sabe o que é a mediana e como o passo a passo funciona — mas será que você consegue aplicar sozinho quando os dados chegam sem organização? Em resumo, os exercícios a seguir cobrem os dois casos — quantidade ímpar e par — e eu incluí dicas para você não se perder no caminho. **[P1]** Uma pesquisadora registrou o número de horas de estudo semanal de 7 alunos: 4, 6, 3, 8, 5, 7, 2 Organize esses valores em ordem crescente e identifique a mediana do conjunto. --- **[P2]** O número de gols marcados por um time nas últimas 6 partidas foi: 1, 3, 2, 4, 1, 3 Calcule a mediana do número de gols. *Dica: Quando o conjunto tem quantidade par de valores, a mediana é calculada a partir dos dois valores centrais. O que você deve fazer com eles?* --- **[P3]** Em uma turma do 8º ano, o professor anotou as alturas (em cm) de 9 estudantes: 158, 162, 155, 170, 163, 157, 168, 160, 165 a) Organize os dados em ordem crescente. b) Calcule a mediana das alturas. *Dica: Com 9 valores organizados, qual é a posição do valor central?* --- **[P4]** Os preços de um mesmo modelo de tênis em 8 lojas diferentes de um shopping foram (em reais): 180, 210, 195, 230, 185, 200, 215, 220 a) Organize os preços em ordem crescente. b) Calcule a mediana dos preços. c) Explique o que a mediana indica nesse contexto. *Dica: Com 8 valores, identifique os dois valores que ocupam as posições centrais após a ordenação.* --- [chapter-section: Evidências] Preste atenção a um erro muito comum: calcular a mediana **sem ordenar** os dados primeiro. Se você tentar identificar o valor central dos dados na ordem em que aparecem, o resultado estará errado. A ordenação é o passo mais importante de todo o processo — sem ela, a mediana perde completamente o significado. Outro erro frequente em amostras com quantidade par é esquecer de calcular a média dos dois valores centrais e apenas escolher um deles. --- ## Exercícios [Sequence 6] Como eu disse a Hermione certa vez em Hogwarts: a verdadeira prova de qualquer habilidade é usá-la quando ninguém está de mão em mão com você. Nestes exercícios, você vai aplicar o cálculo da mediana de forma independente em contextos variados — você consegue identificar a mediana mesmo quando os dados aparecem embaralhados? Em resumo, cada questão a seguir apresenta uma situação diferente, do cotidiano à vida em comunidade, para que você demonstre seu domínio com autonomia. **[I1]** Um relatório do IBGE sobre renda mensal de famílias em um município registrou os seguintes valores (em R$) para uma amostra de 9 famílias: 1.200, 3.800, 1.500, 1.350, 4.900, 1.400, 1.250, 1.600, 12.000 Ao analisar esses dados, um economista afirmou que a mediana é a medida mais adequada para representar a renda típica desse grupo, em vez da média aritmética. A principal razão para essa escolha é que a mediana: (A) é sempre maior do que a média aritmética em qualquer conjunto de dados. (B) não é afetada por valores extremos, representando melhor o centro da distribuição quando há outliers. (C) corresponde ao valor mais frequente no conjunto, tornando-a mais representativa. (D) é calculada somando todos os valores e dividindo pelo número de elementos da amostra. (E) elimina automaticamente os maiores e menores valores antes de ser calculada. **Gabarito:** B --- **[I2]** Uma pesquisa realizada com 10 moradores de um bairro registrou o número de horas que cada um passa conectado à internet por dia: 2, 5, 8, 3, 6, 4, 7, 5, 9, 3 Calcule a mediana do número de horas de uso da internet nessa amostra. [LINES: 4] --- **[I3]** O quadro abaixo mostra as temperaturas máximas registradas em uma cidade durante 7 dias consecutivos (em °C): 28, 31, 26, 35, 29, 33, 27 a) Organize os dados em ordem crescente e determine a mediana das temperaturas. b) Suponha que no oitavo dia a temperatura máxima registrada foi de 40°C. Recalcule a mediana para o conjunto com 8 valores. [LINES: 6] --- **[I4]** Um site de avaliações coletou as notas dadas por 11 clientes a um restaurante (de 1 a 10): 7, 8, 6, 9, 5, 8, 10, 7, 4, 8, 6 O proprietário do restaurante quer divulgar em seu cardápio "a nota que representa o desempenho central do restaurante segundo nossos clientes". Calcule a mediana das avaliações e explique por que ela é uma escolha adequada para representar o desempenho central do restaurante nesse conjunto de dados. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]