A Regra por Trás dos Termos

# A Regra por Trás dos Termos [Sequence 4] Eu, Harry Potter, aprendi logo no meu primeiro ano em Hogwarts que nenhum feitiço funciona sem conhecer os encantamentos que vieram antes. Nas aulas anteriores, você descobriu o que é uma sequência recursiva — aquela em que cada novo termo depende obrigatoriamente de termos anteriores. Agora vamos dar o passo seguinte: aprender a **identificar e expressar a regra** que governa essa dependência. ## Como expressar a regra de formação Vamos investigar isso juntos. Quando temos uma sequência recursiva diante de nós, o que queremos é responder a uma pergunta precisa: *qual operação transforma o(s) termo(s) anterior(es) no próximo?* Essa resposta é a **regra de formação** da sequência. Toda regra de formação recursiva tem dois ingredientes indispensáveis. O primeiro é a **condição inicial** — o(s) primeiro(s) termo(s) que servem de ponto de partida, pois sem eles a regra não consegue *arrancar*. O segundo é a **relação de recorrência** — a operação que, a partir de termos já conhecidos, gera o próximo. Como se fosse um feitiço que só funciona quando você já tem a poção anterior na mão. Em resumo, expressar a regra de uma sequência recursiva é dizer, em palavras ou com símbolos, como cada novo termo se conecta ao(s) anterior(es). ## Sequências que dependem de um único termo anterior A situação mais comum — e a mais simples de investigar — é aquela em que cada novo termo depende de apenas um antecessor. O passo a passo para identificar a regra é sempre o mesmo: calcule a diferença ou o quociente entre termos consecutivos e verifique se o resultado é constante. Se a diferença for constante, a regra é do tipo *anterior + d*. Se o quociente for constante, a regra é do tipo *anterior × r*. **Images:** - PLOT: Tabela de duas colunas mostrando a sequência (3, 6, 12, 24, 48) com colunas "Termo" e "Como foi obtido" (primeiro termo: 3; segundo: 3 × 2 = 6; terceiro: 6 × 2 = 12; quarto: 12 × 2 = 24), destacando passo a passo o processo de identificação da regra. Acima da tabela, duas perguntas em destaque: "Diferença constante? → não (3, 6, 12, 24...)" e "Quociente constante? → sim, ×2". Estilo visual limpo, fonte legível, fundo branco. | tabela-identificacao-regra.png | 4:3 Considere a sequência (3, 6, 12, 24, 48, …). Dividindo qualquer termo pelo anterior, sempre obtemos 2 — portanto, a regra é: *cada termo é igual ao dobro do termo anterior*, com primeiro termo igual a 3. Já na sequência (5, 8, 11, 14, 17, …), a diferença entre termos consecutivos é sempre 3, então a regra é: *cada termo é igual ao termo anterior somado a 3*, com primeiro termo igual a 5. [chapter-section: Zoom] Você consegue expressar a regra da sequência (100, 90, 80, 70, …) em função do termo anterior? Qual seria o 6º termo? ## Sequências que dependem de dois termos anteriores Como se fosse um feitiço de dois ingredientes, algumas sequências precisam dos dois termos anteriores para gerar o próximo. A sequência de Fibonacci — que você já conhece do capítulo anterior — é o caso mais famoso: cada termo é a soma dos dois que o precedem, e a condição inicial exige **dois termos de partida**. **Images:** - PLOT: Diagrama de setas mostrando a sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13) com setas curvas rotuladas "+" conectando dois termos ao próximo (ex: 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5), destacando os dois termos iniciais com uma caixa de destaque. Fundo branco, estilo limpo, cores azul e verde. | fibonacci-dois-termos.png | 16:9 A regra de recorrência pode ser a mesma em duas sequências diferentes — o que as distingue são as condições iniciais. Isso mostra que, ao expressar a regra de qualquer sequência recursiva, precisamos sempre informar duas coisas: de quantos termos anteriores ela depende e quais são os termos de partida. ## Quando a diferença entre termos também varia Às vezes, a diferença entre termos consecutivos não é constante — ela própria segue um padrão. Observe a sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, …): as diferenças entre termos consecutivos são 1, 2, 3, 4, 5, 6 — uma sequência que cresce de 1 em 1. Nesse caso, a regra ainda pode ser expressa em função de termos anteriores, mas é preciso também observar o comportamento das diferenças. Uma forma de descrever isso: *cada termo é igual ao termo anterior mais uma diferença que cresce de 1 em 1*. Assim, do 1º para o 2º termo somamos 1; do 2º para o 3º, somamos 2; do 3º para o 4º, somamos 3, e assim por diante. A sequência ainda é recursiva porque cada novo termo depende do anterior, mas a operação não é simplesmente somar um valor fixo. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre regras de formação de sequências recursivas na plataforma Teachy] [Sequence 5] ## Na prática Eu já me peguei em Hogwarts tentando aplicar um feitiço sem lembrar os ingredientes certos — e o resultado não foi bonito. Nas sequências recursivas, acontece algo parecido: você precisa da regra *e* das condições iniciais para tudo funcionar. Que tal treinarmos juntos? Você consegue identificar a regra antes de verificar as dicas? [P1] (DOK 1) Observe a sequência recursiva abaixo: **5, 8, 11, 14, 17, ...** O primeiro termo é 5. Para obter o termo seguinte, soma-se 3 ao termo anterior. Qual das alternativas descreve corretamente a regra de formação dessa sequência? (A) Cada termo é igual ao triplo do termo anterior. (B) Cada termo é igual ao termo anterior somado a 3. (C) Cada termo é igual à sua posição multiplicada por 3. (D) Cada termo é igual ao dobro do termo anterior menos 2. **Gabarito:** B --- [P2] (DOK 2) Considere a sequência: **3, 6, 12, 24, 48, ...** a) Identifique a regra de formação dessa sequência, expressando-a em função do termo anterior. b) Use a regra encontrada para calcular o 6º e o 7º termos. _Dica: Compare cada termo com o que vem antes dele — qual operação transforma um termo no seguinte?_ --- [P3] (DOK 2) A sequência abaixo é do tipo Fibonacci, pois cada termo depende dos **dois termos anteriores**: **2, 3, 5, 8, 13, 21, ...** a) Expresse a regra de formação dessa sequência em palavras, indicando de quantos termos anteriores ela depende. b) Escreva o 7º e o 8º termos dessa sequência. _Dica: Some cada par de termos consecutivos e veja qual valor aparece logo depois na sequência._ --- Em resumo, identificar a regra de uma sequência recursiva é como decifrar o código de um feitiço: observar o que muda entre os termos, nomear a operação e registrar as condições de partida — sem elas, a sequência não decola. [chapter-section: Sabia?] A sequência de Fibonacci aparece em muitos lugares na natureza brasileira: nas espirais formadas pelas sementes de girassol, na disposição das folhas em plantas tropicais e nas câmaras da concha do nautilus. Não é coincidência — esse padrão recursivo representa uma forma eficiente de crescimento que evoluiu em diferentes espécies ao longo de milhões de anos. [Sequence 6] ## Exercícios Agora é com você, sem pistas de partida. Pense nisso como magia: eu já mostrei o caminho, mas é você quem precisa lançar o feitiço. Consegue identificar as regras de formação nos contextos abaixo e expressá-las com precisão? Em resumo, cada exercício pede que você conecte o que observa na sequência à operação que a gera. [I1] (DOK 2) Uma estudante observou que o número de mensagens enviadas em uma corrente solidária dobrava a cada rodada: na 1ª rodada, 1 pessoa enviou a mensagem; na 2ª rodada, 2 pessoas receberam; na 3ª, 4 pessoas; na 4ª, 8 pessoas; e assim por diante. Qual é a regra de formação dessa sequência, expressa em função do termo anterior? (A) Cada termo é igual ao termo anterior mais 2. (B) Cada termo é igual ao dobro do termo anterior. (C) Cada termo é igual ao quadrado do termo anterior. (D) Cada termo é igual ao termo anterior mais o número da rodada. (E) Cada termo é igual ao termo anterior mais o dobro do seu índice. **Gabarito:** B --- [I2] (DOK 3) Um pesquisador acompanhou a reprodução de uma colônia de abelhas nativas brasileiras. Ele registrou que, a cada semana, o número de abelhas operárias era a soma das quantidades das duas semanas anteriores. Na primeira semana havia 10 operárias; na segunda, 16. O pesquisador organizou os dados na tabela a seguir: | Semana | Nº de operárias | |--------|----------------| | 1ª | 10 | | 2ª | 16 | | 3ª | ? | | 4ª | ? | | 5ª | ? | Com base na regra de formação descrita pelo pesquisador, qual é o número de operárias na 5ª semana? (A) 42 (B) 58 (C) 68 (D) 84 (E) 100 **Gabarito:** C --- [I3] (DOK 2) Uma artesã brasileira cria colares empilhando contas coloridas em camadas. Na primeira camada há 4 contas; na segunda, 7; na terceira, 10; na quarta, 13. Ela percebe que, a cada nova camada, o número de contas segue uma regra recursiva. a) Identifique a regra de formação dessa sequência, expressando-a em função do termo anterior. b) Quantas contas haverá na 6ª camada? [LINES: 5] --- [I4] (DOK 3) Dois estudantes discutem sobre a sequência **1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...** Marcelo diz: "A regra é somar sempre 1 a mais do que foi somado antes: primeiro soma 1, depois 2, depois 3, e assim por diante." Camila diz: "Não sei expressar a regra com o termo anterior — preciso olhar a posição." Explique por que a sequência é recursiva e escreva sua regra de formação em termos de termos anteriores e da diferença entre eles, mostrando que Marcelo está correto. [LINES: 8] **Images:** - PLOT: Diagrama visual mostrando a sequência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22) com as diferenças entre termos consecutivos destacadas abaixo de cada par de termos (1, 2, 3, 4, 5, 6), mostrando o padrão crescente de diferenças. Fundo branco, setas indicando as diferenças, cores distintas para termos (azul) e diferenças (laranja), com rótulo "diferença cresce +1 a cada passo". | sequencia-diferencas-crescentes.png | 16:9 [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]