Aplicação Prática: Congruência e Quadriláteros

# Aplicação Prática: Congruência e Quadriláteros Eu aprendi em Hogwarts que a verdadeira magia não está em decorar feitiços, mas em saber usá-los na hora certa — e aqui não é diferente: será que você já domina os critérios de congruência e consegue aplicá-los para desvendar as propriedades dos quadriláteros? Em resumo, chegou a hora de colocar o raciocínio geométrico em ação! ## Exercícios **1.** [I1] Considere os triângulos ABC e DEF, em que AB = DE = 5 cm, BC = EF = 7 cm e o ângulo B = ângulo E = 60°. Um estudante afirma que os dois triângulos são congruentes pelo critério LAL (Lado-Ângulo-Lado). Qual critério de congruência garante que △ABC ≅ △DEF nessa situação, e quais são as condições exigidas por esse critério? (A) LLL — três lados iguais dois a dois. (B) LAL — dois lados e o ângulo entre eles iguais dois a dois. (C) ALA — dois ângulos e o lado entre eles iguais dois a dois. (D) LAAo — um lado e dois ângulos, sendo um deles oposto ao lado dado, iguais dois a dois. (E) Os triângulos não são congruentes porque falta informação sobre o terceiro lado. --- **2.** [I2] Um professor apresenta à turma quatro pares de triângulos com as seguintes informações: Par 1: três lados iguais dois a dois. Par 2: dois lados e o ângulo entre eles iguais dois a dois. Par 3: dois lados e um ângulo não compreendido entre eles iguais dois a dois. Par 4: dois ângulos e o lado entre eles iguais dois a dois. Dos pares apresentados, quais permitem afirmar, com certeza, que os triângulos são congruentes? (A) Apenas Par 1 e Par 2. (B) Apenas Par 1, Par 2 e Par 4. (C) Apenas Par 2, Par 3 e Par 4. (D) Par 1, Par 2, Par 3 e Par 4. (E) Apenas Par 3 e Par 4. --- **3.** [I3] Observe o diagrama a seguir. O quadrilátero ABCD é um paralelogramo, com os vértices rotulados em ordem. A diagonal AC divide o paralelogramo em dois triângulos: △ABC e △CDA. **Images:** - PLOT: Paralelogramo ABCD com diagonal AC tracejada, ângulos alternos internos marcados com arcos de mesma cor, lados AB∥CD e AD∥BC indicados | paralelogramo-diagonal-ac.png | 4:3 Com base nas propriedades do paralelogramo, identifique qual critério de congruência é usado para provar que △ABC ≅ △CDA. (A) LLL, pois os três lados dos dois triângulos são iguais dois a dois. (B) LAL, pois dois lados e o ângulo entre eles são iguais dois a dois. (C) ALA, pois dois ângulos internos e o lado AC (comum) são iguais dois a dois. (D) LAAo, pois um lado e dois ângulos não adjacentes são iguais dois a dois. (E) Não é possível provar a congruência apenas com a diagonal. --- **4.** [I13] Observe os quatro quadriláteros descritos abaixo e suas respectivas propriedades relacionadas às diagonais: Quadrilátero 1 — Paralelogramo: diagonais se bissectam. Quadrilátero 2 — Retângulo: diagonais se bissectam e são iguais. Quadrilátero 3 — Losango: diagonais se bissectam e são perpendiculares. Quadrilátero 4 — Quadrado: diagonais se bissectam, são iguais e perpendiculares. Qual dos quadriláteros listados possui diagonais que são simultaneamente iguais **e** perpendiculares? (A) Apenas o Paralelogramo. (B) Apenas o Retângulo. (C) Apenas o Losango. (D) Apenas o Quadrado. (E) O Retângulo e o Losango. --- **5.** [I4] Em um paralelogramo ABCD, sabe-se que AB ∥ CD e AD ∥ BC. A diagonal BD é traçada, dividindo o paralelogramo nos triângulos ABD e CDB. **Images:** - PLOT: Paralelogramo ABCD com diagonal BD tracejada e ângulos alternos internos marcados com arcos de cores distintas para os pares correspondentes | paralelogramo-diagonal-bd.png | 4:3 Usando o critério ALA, demonstre que △ABD ≅ △CDB. a) Identifique os dois pares de ângulos iguais envolvidos na demonstração e justifique por que são iguais. b) Identifique o lado comum aos dois triângulos. [LINES: 6] --- **6.** [I7] O trapézio isósceles ABCD tem AB ∥ CD e AD = BC (lados não paralelos iguais). A altura AE é traçada de A até CD, e a altura BF é traçada de B até CD. **Images:** - PLOT: Trapézio isósceles ABCD com as alturas AE e BF tracejadas, formando dois triângulos retângulos nas extremidades, marcas de igualdade nos lados AD e BC | trapezio-isosceles-alturas.png | 4:3 Identifique o critério de congruência que prova que △ADE ≅ △BCF e indique quais elementos iguais foram utilizados. [LINES: 5] --- **7.** [I8] Em um paralelogramo ABCD, as diagonais AC e BD se intersectam no ponto O. **Images:** - PLOT: Paralelogramo ABCD com as duas diagonais AC e BD traçadas, ponto O no centro, segmentos AO, OC, BO, OD com marcas de igualdade aos pares | paralelogramo-bissecao.png | 4:3 Usando congruência de triângulos, justifique que as diagonais do paralelogramo se bissectam mutuamente, ou seja, que AO = OC e BO = OD. *Orientação: analise os triângulos AOB e COD.* [LINES: 6] --- **8.** [I5] A figura mostra o retângulo PQRS, em que as diagonais PR e QS se intersectam no ponto O. **Images:** - PLOT: Retângulo PQRS com as duas diagonais PR e QS desenhadas, ponto de interseção O marcado, segmentos OP, OQ, OR, OS indicados com marcas de igualdade | retangulo-diagonais.png | 4:3 Com base na congruência dos triângulos formados pelas diagonais, responda: a) Justifique que △PQS ≅ △SRP usando um critério de congruência adequado. b) Conclua, a partir da congruência demonstrada, que as diagonais de um retângulo são iguais em comprimento. [LINES: 6] --- **9.** [I6] Um arquiteto está verificando se uma peça quadrada de um piso foi cortada corretamente. A peça tem a forma de um losango ABCD, com AB = BC = CD = DA. As diagonais AC e BD são traçadas e se intersectam em O. **Images:** - PLOT: Losango ABCD com as duas diagonais AC e BD traçadas se intersectando em O, ângulos retos marcados na interseção, marcas de igualdade em todos os lados | losango-diagonais.png | 4:3 Usando a congruência de triângulos, justifique que as diagonais do losango se intersectam perpendicularmente. *Orientação: compare os triângulos AOB e AOD e use o critério LLL.* [LINES: 6] --- **10.** [I12] Um ladrilho tem o formato de um trapézio retângulo ABCD, com AB ∥ CD, o ângulo A = 90° e o ângulo D = 90°. O lado AD é perpendicular às bases. A diagonal AC divide o trapézio em dois triângulos. **Images:** - PLOT: Trapézio retângulo ABCD com diagonal AC tracejada, ângulos retos em A e D marcados, bases AB e CD identificadas | trapezio-retangulo-diagonal.png | 4:3 Identifique os dois triângulos formados pela diagonal AC e determine se eles são congruentes. Justifique sua resposta indicando quais elementos são iguais e qual critério se aplica (ou por que a congruência não ocorre). [LINES: 6] --- **11.** [I14] Uma equipe de estudantes recebeu a tarefa de provar que, em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são iguais. Para isso, traçaram a diagonal AC no paralelogramo ABCD e identificaram dois triângulos congruentes. **Images:** - PLOT: Paralelogramo ABCD com diagonal AC traçada, ângulos opostos B e D destacados com arcos de mesma cor, ângulos alternos internos em A e C marcados com arcos distintos | paralelogramo-angulos-opostos.png | 4:3 Com base na congruência △ABC ≅ △CDA (já demonstrada pelo critério ALA), explique como é possível concluir que o ângulo B é igual ao ângulo D, justificando o raciocínio com os elementos correspondentes dos triângulos congruentes. [LINES: 5] --- **12.** [I9] Na construção civil, é comum verificar se um terreno quadrilateral é um retângulo medindo suas diagonais. Um engenheiro registrou as seguintes medidas de um terreno ABCD: AB = CD = 12 m, BC = AD = 8 m, e as duas diagonais medem exatamente 14,4 m cada. Com base na congruência de triângulos e nas propriedades dos quadriláteros, o engenheiro pode concluir que o terreno é um retângulo porque (A) quando os quatro lados são iguais dois a dois, o quadrilátero é necessariamente um retângulo. (B) a igualdade das diagonais, associada à congruência dos triângulos formados por elas, é condição suficiente para garantir que os ângulos internos são retos em um paralelogramo. (C) as diagonais iguais garantem, por si só, que o quadrilátero é um quadrado. (D) a congruência dos lados opostos implica diretamente que todos os ângulos internos são de 90°, independentemente do formato do quadrilátero. (E) qualquer quadrilátero com lados opostos iguais e diagonais iguais é um losango. --- **13.** [I10] Em um quadrado ABCD, as diagonais AC e BD se cruzam no ponto O. Um estudante afirma que o quadrado possui quatro eixos de simetria: dois passando pelos pontos médios dos lados opostos e dois passando pelos vértices opostos. **Images:** - PLOT: Quadrado ABCD com as duas diagonais e as duas mediatrizes dos lados desenhadas, todos os quatro eixos de simetria destacados em cores distintas | quadrado-eixos-simetria.png | 4:3 Usando a congruência de triângulos, justifique que a diagonal AC é um eixo de simetria do quadrado ABCD. *Orientação: compare os triângulos ABC e ADC.* [LINES: 5] --- **14.** [I11] Uma quadrilha de estudantes discute qual quadrilátero tem o maior número de propriedades relacionadas às diagonais. Maria afirma que o quadrado é o quadrilátero com mais propriedades diagonais porque é simultaneamente um retângulo e um losango. João contesta dizendo que essas propriedades são independentes e não se acumulam. Considere as propriedades: (1) diagonais iguais; (2) diagonais que se bissectam; (3) diagonais perpendiculares; (4) diagonais que são eixos de simetria. Analise o argumento de Maria e determine quais dessas quatro propriedades das diagonais o quadrado possui, justificando cada uma com base na congruência de triângulos. [LINES: 10] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na plataforma Teachy e receber correção automática com feedback detalhado]