Área de Quadriláteros

# Área de Quadriláteros [Sequence 4] No capítulo anterior, eu aprendi com você a converter unidades de área — transformar cm² em m², m² em hectares. Agora chegou a hora de calcular essas áreas diretamente a partir das dimensões das figuras, como se fosse um feitiço que transforma medidas em superfícies! Neste capítulo, você vai explorar cinco figuras que aparecem em terrenos, pisos, janelas e até tabuleiros de jogo: o **quadrado**, o **retângulo**, o **paralelogramo**, o **losango** e o **trapézio**. Todos são quadriláteros — polígonos com exatamente quatro lados — e cada um tem sua própria fórmula de área. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/9a1668ad5bff57e33b7e08cf20ca44183877dd2f97ae3e6df100e9534d7a447d.jpg — Vista aérea de propriedade rural com campos retangulares e parcelas de terra com formatos geométricos variados | Attribution: Fonte: USDAgov - Wikimedia Commons ## Quadrado e Retângulo Imagine que você precisa cobrir o piso de uma sala com ladrilhos. A sala tem 6 metros de comprimento e 4 metros de largura — quantos metros quadrados de piso você precisa comprar? Essa pergunta, que eu tive de responder para decorar minha sala na Torre de Grifinória, leva direto ao cálculo de área do **retângulo**. A **área** de uma figura plana é a medida da superfície que ela ocupa. Para o retângulo, multiplicamos a base pela altura: **A = b × h**, onde **b** é a base e **h** é a altura. No exemplo da sala: A = 6 × 4 = 24 m². O **quadrado** é um caso especial de retângulo em que todos os quatro lados são iguais, então sua fórmula simplifica para **A = l²**, onde **l** é o lado. Um azulejo de 30 cm de lado tem área A = 30² = 900 cm². Em resumo, retângulo e quadrado compartilham a mesma lógica — multiplicar comprimentos perpendiculares — só que no quadrado os dois comprimentos são sempre iguais. **Images:** - PLOT: Two side-by-side labeled diagrams on white background: left shows a rectangle with base labeled "b" and height labeled "h", formula "A = b × h" below; right shows a square with side labeled "l", formula "A = l²" below. Clean geometric style, blue outlines, clear labels in Portuguese. | retangulo-quadrado-area.png | 4:3 [chapter-section: Sabia?] O quadrado reúne ao mesmo tempo as propriedades do retângulo, do losango e do paralelogramo. Por isso, em Hogwarts eu aprendi que todo quadrado é também um retângulo — mas você consegue explicar por que o contrário não é verdade? ## Paralelogramo Um paralelogramo parece um retângulo "empurrado para o lado": tem dois pares de lados opostos paralelos e congruentes, mas seus ângulos não são necessariamente retos. Essa inclinação cria uma dúvida clássica — você usaria o lado inclinado ou a distância perpendicular entre as bases para calcular a área? A resposta é: sempre a **altura perpendicular h**. A fórmula é: **A = b × h**, a mesma do retângulo. Pense nisso como um feitiço de endireitamento: se você "empurrar" o paralelogramo de volta até virar um retângulo, a área não muda, pois a base e a altura permanecem as mesmas. **Exemplo resolvido:** Um paralelogramo tem base de 10 m e altura perpendicular de 6 m. Qual é sua área? - Dados: b = 10 m, h = 6 m - Fórmula: A = b × h - Cálculo: A = 10 × 6 = **60 m²** Em resumo, no paralelogramo a chave é identificar a altura perpendicular — o lado oblíquo nunca entra na fórmula de área. **Images:** - PLOT: Diagram of a parallelogram with base labeled "b = 10 m", a dashed perpendicular line inside labeled "h = 6 m", and the oblique side labeled "lado oblíquo". Arrow clearly marks the distinction. Formula A = b × h shown below. Blue outlines, dashed red line for height. | paralelogramo-area.png | 4:3 [chapter-section: Zoom] Se você desenhasse o mesmo paralelogramo em malha quadriculada e contasse os quadradinhos, obteria a mesma área calculada pela fórmula? Tente fazer esse experimento com uma figura de base 4 e altura 3 e veja o que acontece! ## Losango O **losango** é um quadrilátero com quatro lados iguais — parece um quadrado rotacionado. Sua característica especial para o cálculo de área é que suas **diagonais são perpendiculares entre si** e cada uma é bisseccionada pela outra. Essa propriedade nos dá uma fórmula diferente: **A = (D × d) ÷ 2** onde **D** é a diagonal maior e **d** é a diagonal menor. Eu achei esse resultado quase mágico: bastam as diagonais para determinar a superfície inteira! **Exemplo resolvido:** Um piso decorativo tem formato de losango com diagonal maior de 16 cm e diagonal menor de 10 cm. Qual é sua área? - Dados: D = 16 cm, d = 10 cm - Fórmula: A = (D × d) ÷ 2 - Cálculo: A = (16 × 10) ÷ 2 = 160 ÷ 2 = **80 cm²** Em resumo, no losango não usamos base e altura — usamos as duas diagonais que se cruzam perpendicularmente. **Images:** - PLOT: Diagram of a rhombus (losango) with both diagonals drawn as dashed lines. Larger diagonal labeled "D = 16 cm", smaller diagonal labeled "d = 10 cm". Right-angle symbol at intersection. Formula A = (D × d) ÷ 2 shown below. Blue outlines, clear labels in Portuguese. | losango-area.png | 4:3 ## Trapézio O **trapézio** é o quadrilátero com exatamente um par de lados paralelos, chamados de **bases**: a maior representada por **B** e a menor por **b**. A **altura h** é a distância perpendicular entre elas. Como as duas bases têm comprimentos diferentes, a área é calculada pela média das bases multiplicada pela altura: **A = (B + b) × h ÷ 2** Pode parecer um feitiço complicado, mas a lógica é simples: somamos as duas bases, dividimos por 2 para obter a média, e então multiplicamos pela altura. **Exemplo resolvido:** Um terreno em forma de trapézio tem base maior de 20 m, base menor de 12 m e altura de 8 m. Qual é a área? - Dados: B = 20 m, b = 12 m, h = 8 m - Fórmula: A = (B + b) × h ÷ 2 - Cálculo: A = (20 + 12) × 8 ÷ 2 = 32 × 8 ÷ 2 = 256 ÷ 2 = **128 m²** Em resumo, o trapézio exige atenção para identificar as duas bases paralelas e a altura perpendicular — são exatamente essas três medidas que a fórmula usa. **Images:** - PLOT: Diagram of a trapézio with top base labeled "b = 12 m", bottom base labeled "B = 20 m", and a dashed vertical line inside labeled "h = 8 m". Formula A = (B + b) × h ÷ 2 shown below. Blue outlines, clean style with labels in Portuguese. | trapezio-area.png | 4:3 [chapter-section: Comparando...] Observe como as fórmulas dos cinco quadriláteros se relacionam entre si. O retângulo e o paralelogramo compartilham A = b × h (a diferença está em como identificar h); o losango usa as diagonais; o trapézio usa a média das bases. O quadrado é simplesmente o caso mais simétrico de todos. | Figura | Fórmula | Medidas necessárias | |---|---|---| | Quadrado | A = l² | lado l | | Retângulo | A = b × h | base b e altura h | | Paralelogramo | A = b × h | base b e altura perpendicular h | | Losango | A = (D × d) ÷ 2 | diagonal maior D e diagonal menor d | | Trapézio | A = (B + b) × h ÷ 2 | bases B e b, e altura h | [INTERACTIVE: a1-sl | Revise as fórmulas de área dos quadriláteros com os slides interativos na plataforma Teachy] [Sequence 5] ## Na prática Em Hogwarts, sempre que aprendíamos uma fórmula nova, praticávamos até ela se tornar natural. Vamos fazer o mesmo? Resolva cada item abaixo e preste atenção nas dicas — elas apontam exatamente os erros mais comuns. Em resumo, o objetivo desta seção é você aplicar cada fórmula com segurança antes de partir para os exercícios independentes. [P1] Um azulejo quadrado tem lado de 30 cm. Qual é a área desse azulejo em cm²? (A) 60 cm² (B) 90 cm² (C) 900 cm² (D) 9.000 cm² [P2] A figura abaixo representa um paralelogramo com base de 8 m e altura de 5 m. **Images:** - PLOT: Diagram of a parallelogram with horizontal base labeled "8 m" and a dashed perpendicular internal line labeled "5 m" for the height. Right-angle symbol at the foot of the height line. Clean style, blue outlines. | p2-paralelogramo.png | 4:3 Calcule a área desse paralelogramo. _Dica: A altura do paralelogramo é sempre perpendicular à base — não confunda com o lado inclinado._ [P3] Um trapézio tem base maior de 12 m, base menor de 8 m e altura de 5 m. a) Identifique quais são as medidas necessárias para calcular a área de um trapézio. b) Calcule a área desse trapézio. _Dica: A fórmula da área do trapézio usa a soma das duas bases. Por que faz sentido somar as bases antes de dividir por 2?_ [P4] Um losango tem diagonais medindo 10 cm e 6 cm. **Images:** - PLOT: Diagram of a rhombus with both diagonals drawn as dashed lines and labeled: diagonal maior "d₁ = 10 cm", diagonal menor "d₂ = 6 cm". Right-angle symbol at intersection. Blue outlines, labels in Portuguese. | p4-losango.png | 4:3 Calcule a área desse losango. _Dica: As diagonais do losango são perpendiculares entre si e cada uma é dividida ao meio pela outra. Pense em como isso forma retângulos menores._ [Sequence 6] ## Exercícios Agora é hora de você investigar — como eu investigaria um mistério em Hogwarts. Cada exercício apresenta uma situação real; caberá a você identificar a figura, selecionar a fórmula e calcular a área com atenção às unidades. Consegue resolver todos? Em resumo, nesses exercícios você deve escolher a fórmula adequada para cada situação e justificar seus cálculos. [I1] Uma quadra de futsal tem formato retangular, com 40 m de comprimento e 20 m de largura. A prefeitura de uma cidade do interior decidiu instalar um novo piso de madeira em toda a quadra, cujo custo é de R$ 85,00 por m². Calcule o valor total que a prefeitura pagará para instalar o piso. [LINES: 5] [I2] A figura abaixo representa um terreno em forma de trapézio, com base maior de 18 m, base menor de 12 m e altura de 9 m. **Images:** - PLOT: Diagram of a trapézio with bottom base labeled "18 m", top base labeled "12 m", and a dashed vertical line labeled "9 m" indicating the height. Right-angle symbol at the foot of the height. Blue outlines, clean style. | i2-trapezio.png | 4:3 O proprietário quer planejar um jardim interno nesse terreno e precisa saber a área total disponível. Calcule a área do terreno. [LINES: 5] [I3] Uma peça de vidro decorativa tem formato de losango, com diagonal maior medindo 24 cm e diagonal menor medindo 10 cm. A loja vende esse tipo de peça por R$ 3,00 por cm². Qual é o custo total dessa peça de vidro? (A) R$ 102,00 (B) R$ 360,00 (C) R$ 720,00 (D) R$ 1.440,00 (E) R$ 240,00 [I4] Uma empresa de paisagismo foi contratada para reformar uma praça pública. O projeto divide a praça em duas áreas: um paralelogramo central destinado a jardim, com base de 15 m e altura de 8 m; e uma faixa retangular ao redor, com 30 m de comprimento e 20 m de largura. O custo de implantação do jardim é de R$ 40,00/m² e o custo do piso externo (área do retângulo menos o paralelogramo) é de R$ 25,00/m². Com base nessas informações, qual é o custo total da reforma? (A) R$ 9.000,00 (B) R$ 14.800,00 (C) R$ 19.800,00 (D) R$ 16.200,00 (E) R$ 18.000,00 [I5] O diagrama abaixo mostra um tabuleiro de jogo com o formato de um paralelogramo, cuja base mede 30 cm e a altura mede 25 cm. **Images:** - PLOT: Diagram of a parallelogram representing a game board. Base labeled "30 cm", dashed perpendicular height line labeled "25 cm" inside, oblique side labeled "27 cm". Right-angle symbol at foot of height. Blue outlines, clean style. | i5-tabuleiro.png | 4:3 Um estudante afirmou que a área do tabuleiro é 30 × 25 = 750 cm². Outro mediu o lado inclinado e obteve 27 cm, calculando a área como 30 × 27 = 810 cm². a) Identifique qual dos dois cálculos está correto. b) Explique por que o outro cálculo está errado. [LINES: 6] [I6] Uma cidade planeja construir um parque em um terreno com formato de trapézio. O terreno tem base maior de 80 m, base menor de 50 m e altura de 40 m. O projeto divide o parque em três zonas: área de lazer (50% da área total), área verde (30% da área total) e área de equipamentos esportivos (20% da área total). a) Calcule a área total do terreno. b) Determine a área, em m², destinada a cada uma das três zonas do parque. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]