Cálculo da Probabilidade de um Evento — Situações-Problema

# Cálculo da Probabilidade de um Evento — Situações-Problema [Sequence 6] Eu, Harry Potter, aprendi em Hogwarts que a magia exige domínio completo de cada feitiço antes de combiná-los num encantamento maior. Você já aprendeu os feitiços da probabilidade, e agora é hora de usá-los juntos: identificar espaços amostrais, classificar eventos, aplicar o princípio multiplicativo, calcular probabilidades e verificar que a soma de todas elas é sempre 1. Você está pronto para esse desafio? Em resumo, estes exercícios pedem que você reúna tudo o que estudou para resolver situações do mundo real. **Imagens:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/6b0e026a2e0d0f796cf56bf5d2ce4300.png — Objetos comuns em experimentos de probabilidade: dados, roleta, carta de baralho e moeda, representando diferentes tipos de experimentos aleatórios. | Attribution: Fonte: Teachy - "Introduction to Basic Probability - Examples for Probability Problems" - Manually added ## Exercícios [I1] _Uma escola realizou um sorteio para escolher quem representaria a turma em um evento. Foram colocadas em uma caixa fichas com os nomes de 30 alunos: 12 meninas e 18 meninos. Uma ficha foi retirada ao acaso._ Qual é o espaço amostral desse experimento? (A) Apenas os nomes dos meninos. (B) Apenas os nomes das meninas. (C) O conjunto formado pelos nomes de todos os 30 alunos. (D) Somente os nomes dos alunos presentes no dia do sorteio. (E) O conjunto formado pelos 12 nomes mais frequentes da turma. **Gabarito:** C --- [I2] _Considere os experimentos a seguir:_ _I. Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas._ _II. Prever com certeza o placar final de uma partida de futebol antes do apito inicial._ _III. Lançar dois dados e observar a soma dos resultados._ _IV. Verificar se um número par retirado de {2, 4, 6} é sempre menor que 10._ Quais desses experimentos são aleatórios? (A) Apenas I. (B) Apenas I e III. (C) I, II e III. (D) I, III e IV. (E) Todos os experimentos são aleatórios. **Gabarito:** B --- [I3] _Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 8, todas idênticas ao tato. Uma bola é retirada ao acaso._ Classifique cada par de eventos abaixo como dependente ou independente, marcando a alternativa correta: - Evento A: "retirar um número par" - Evento B: "retirar um número ímpar" (A) A e B são eventos independentes, pois a ocorrência de um não influencia a probabilidade do outro no mesmo sorteio. (B) A e B são eventos dependentes, pois se A ocorrer, B não pode ocorrer no mesmo sorteio. (C) A e B são eventos independentes, pois os dois podem ocorrer ao mesmo tempo. (D) A e B são eventos dependentes porque compartilham o mesmo espaço amostral. (E) Não é possível classificar A e B sem saber quantas bolas pares há na urna. **Gabarito:** B --- [I4] _Uma lanchonete escolar oferece 3 opções de lanche (coxinha, pão de queijo, bolo) e 4 opções de bebida (água, suco, refrigerante, vitamina). Um aluno escolhe um lanche e uma bebida ao acaso._ a) Utilizando o princípio multiplicativo, determine quantos resultados possíveis compõem o espaço amostral desse experimento. b) Liste todos os resultados possíveis organizando-os em uma tabela ou diagrama de árvore. [LINES: 6] --- [I5] _Em uma cidade do interior, um sistema de alarme é ativado por sensores independentes. Cada sensor pode ser acionado (A) ou não acionado (N). O sistema tem 3 sensores: S1, S2 e S3._ Um técnico precisa mapear todos os estados possíveis do sistema para verificar em qual combinação o alarme é disparado. a) Identifique esse como um experimento aleatório e descreva seu espaço amostral, usando o princípio multiplicativo para calcular o total de resultados possíveis. b) Calcule a probabilidade de, num teste aleatório, exatamente os três sensores serem acionados simultaneamente. [LINES: 6] --- [I6] _Uma pesquisa em uma escola de 8º ano perguntou a 40 alunos qual era sua matéria favorita. Os resultados foram: 14 escolheram Matemática, 10 escolheram Português, 8 escolheram Ciências, 5 escolheram História e 3 escolheram Artes. Para uma dinâmica, a professora sorteia um aluno ao acaso._ Calcule: a) A probabilidade de o aluno sorteado ter escolhido Matemática como matéria favorita. b) A probabilidade de o aluno sorteado ter escolhido Ciências ou História como matéria favorita. c) Expresse cada probabilidade como fração, decimal e porcentagem. [LINES: 8] --- [I7] _O diagrama abaixo representa o espaço amostral do experimento: "lançar uma moeda e um dado de seis faces simultaneamente". Cada célula da tabela indica um resultado possível._ | Moeda \ Dado | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | Cara | (C,1) | (C,2) | (C,3) | (C,4) | (C,5) | (C,6) | | Coroa | (K,1) | (K,2) | (K,3) | (K,4) | (K,5) | (K,6) | Com base na tabela: a) Determine o número total de resultados possíveis usando o princípio multiplicativo e confirme contando as células da tabela. b) Calcule a probabilidade de obter coroa e um número maior que 4. **Gabarito:** a) 2 × 6 = 12 resultados possíveis; a tabela tem 12 células — confirmado. b) Casos favoráveis: (K,5) e (K,6) → 2 casos. P = 2/12 = 1/6. --- [I8] _Dois amigos, Rafael e Camila, participam de um sorteio em etapas. Na primeira etapa, um nome é sorteado de uma urna com 5 nomes (Rafael, Camila, Ana, Bruno, Diego). Na segunda etapa, o nome sorteado é retirado e um segundo nome é sorteado entre os restantes._ a) Explique se os eventos "ser sorteado na primeira etapa" e "ser sorteado na segunda etapa" são dependentes ou independentes. Justifique. b) Qual é a probabilidade de Rafael ser sorteado na primeira etapa? [LINES: 6] --- [I9] _Em um festival de cultura popular, uma barraca de bingo sorteava bolas numeradas de 1 a 20. Uma funcionária explicou ao público: "Cada número tem a mesma chance de ser sorteado. Mas atenção: os números múltiplos de 3 ganham um brinde especial, e os múltiplos de 5 ganham um brinde diferente."_ _Considere que uma bola é sorteada ao acaso._ Qual é a probabilidade de a bola sorteada corresponder a um número múltiplo de 3 ou múltiplo de 5, sabendo que os múltiplos de 15 devem ser contados uma única vez? (A) 3/20 (B) 7/20 (C) 9/20 (D) 10/20 (E) 13/20 **Gabarito:** C --- [I10] _Uma caixa contém 6 cartões com as letras da palavra BRASIL: B, R, A, S, I, L. Um cartão é retirado ao acaso._ a) Liste o espaço amostral desse experimento. b) Calcule a probabilidade de o cartão retirado conter uma vogal. c) Calcule a probabilidade de o cartão retirado conter uma consoante. d) Some as probabilidades dos itens (b) e (c). O que você observa? [LINES: 8] --- [I11] _Uma roda da fortuna de uma festa junina está dividida em 6 setores iguais, numerados de 1 a 6. O organizador afirma que a roda é justa: todos os setores têm a mesma probabilidade de ser escolhidos pelo ponteiro._ a) Calcule a probabilidade de o ponteiro parar em cada setor individualmente: P(1), P(2), P(3), P(4), P(5) e P(6). b) Some todas as probabilidades calculadas no item (a) e apresente o resultado. c) Um visitante disse: "Se a soma fosse diferente de 1, a roda não seria justa." Explique, com suas palavras, por que essa afirmação está correta. [LINES: 8] --- [I12] _Uma estudante de 8º ano, Marina, aprendeu que a soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral é sempre igual a 1. Curiosa, ela criou o seguinte problema para desafiar seus colegas:_ _"Em um jogo de cartas, um baralho especial tem 24 cartas: 8 vermelhas, 6 azuis, 6 amarelas e 4 pretas. Uma carta é retirada ao acaso."_ a) Calcule a probabilidade de cada cor: P(vermelha), P(azul), P(amarela) e P(preta). b) Mostre por meio de cálculo que a soma de todas as probabilidades é igual a 1. c) Marina então modificou o problema: "E se eu retirasse uma carta e ela fosse amarela, qual seria a probabilidade de a próxima carta, retirada sem reposição, ser também amarela?" Explique por que esse novo experimento envolve eventos dependentes e calcule a probabilidade pedida por Marina. [LINES: 10] --- [I13] _Uma cooperativa agrícola realiza um sorteio entre seus cooperados para distribuir 1 lote de terra. No total, 60 famílias se inscreveram: 24 do município A, 20 do município B e 16 do município C. O sorteio é feito retirando-se ao acaso o nome de uma família._ a) Construa o espaço amostral simplificado do experimento, indicando o total de resultados possíveis e o número de resultados de cada município. b) Calcule a probabilidade de a família sorteada ser do município B. Expresse o resultado como fração irredutível e como porcentagem. c) Um cooperado do município A afirmou: "Nossa chance de ganhar é de 40%, então quase certamente seremos sorteados." Avalie essa afirmação utilizando os conceitos de probabilidade e espaço amostral. d) Calcule a probabilidade de a família sorteada **não** ser do município C, utilizando o complemento e verificando com a contagem direta dos casos favoráveis. [LINES: 10] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estas questões na plataforma Teachy e receber correção automática com comentários detalhados]