Construção de um Algoritmo para Prever os Próximos Termos

# Construção de um Algoritmo para Prever os Próximos Termos [Sequence 4] Nas aulas anteriores, você encontrou a regra geral de sequências não recursivas — a fórmula $a_n = f(n)$ que calcula qualquer termo diretamente a partir de sua posição. Eu, Harry, aprendi em Hogwarts que dominar uma regra é apenas metade do trabalho; a outra metade é transformá-la em instruções claras o suficiente para que qualquer pessoa possa seguir. ## O que é um Algoritmo? Um algoritmo é uma sequência de passos lógicos, ordenados e bem definidos, criada para resolver um problema. Pense nele como uma receita: cada instrução tem uma ordem específica e não pode ser pulada. Em resumo, um algoritmo transforma uma regra matemática em um roteiro de ações que qualquer pessoa consegue executar, passo a passo. Para sequências não recursivas, o algoritmo é especialmente direto: ele recebe a posição $n$ como entrada e devolve o termo $a_n$ como saída, aplicando apenas a lei de formação — sem consultar nenhum termo anterior. ## Símbolos e Estrutura do Fluxograma Um **fluxograma** é a representação visual de um algoritmo. Cada etapa é desenhada dentro de um símbolo gráfico padronizado, e setas indicam a ordem de execução. Os três símbolos usados em fluxogramas de sequências não recursivas são: | Símbolo | Forma | Função | |--------|-------|--------| | Início / Fim | Oval | Marca onde o algoritmo começa e onde termina | | Entrada / Saída | Paralelogramo | Leitura de dados (entrada) ou exibição do resultado (saída) | | Processo | Retângulo | Representa um cálculo ou operação | Todo fluxograma para uma sequência não recursiva segue a mesma estrutura: **Início → Ler $n$ → Calcular $a_n = f(n)$ → Escrever $a_n$ → Fim**. Essa ordem linear reflete diretamente a natureza da sequência: cada termo é calculado de forma independente, sem retornar a etapas anteriores. **Images:** - [PLOT]: Fluxograma completo com a estrutura padrão para calcular um termo de sequência não recursiva: Início (oval) → Leia n (paralelogramo) → Calcule aₙ = f(n) (retângulo) → Escreva aₙ (paralelogramo) → Fim (oval), com setas conectando cada etapa | fluxograma-estrutura-padrao.png | 3:4 [chapter-section: Sabia?] O uso de fluxogramas foi popularizado na computação a partir da década de 1940, quando engenheiros precisavam planejar programas para os primeiros computadores eletrônicos. Hoje, eles são usados em áreas como engenharia, medicina e administração — sempre que for necessário representar um processo de forma clara e visual. ## Construindo um Fluxograma — Exemplo Vou mostrar como construir um fluxograma para a sequência 1, 3, 5, 7, 9, …, cujo termo geral é $a_n = 2n - 1$. O algoritmo em linguagem natural é: - **Passo 1:** Iniciar - **Passo 2:** Ler o valor de $n$ (a posição desejada) - **Passo 3:** Calcular $a_n = 2 \times n - 1$ - **Passo 4:** Escrever o resultado $a_n$ - **Passo 5:** Encerrar Para verificar, aplicamos o algoritmo em três posições: - $n = 1$: $a_1 = 2 \times 1 - 1 = 1$ ✓ - $n = 3$: $a_3 = 2 \times 3 - 1 = 5$ ✓ - $n = 5$: $a_5 = 2 \times 5 - 1 = 9$ ✓ Em resumo, em nenhum momento foi necessário calcular $a_1$ para descobrir $a_3$, nem $a_4$ para descobrir $a_5$ — cada posição é calculada diretamente pela fórmula, o que confirma que a sequência é não recursiva e que o algoritmo está correto. **Images:** - [PLOT]: Fluxograma completo para a sequência aₙ = 2n − 1: Início (oval) → Leia n (paralelogramo) → Calcule aₙ = 2n − 1 (retângulo) → Escreva aₙ (paralelogramo) → Fim (oval), com setas e tabela de verificação ao lado mostrando n = 1, 3, 5 com seus respectivos resultados 1, 5, 9 | fluxograma-exemplo-impares.png | 16:9 [INTERACTIVE: a1-sl | Acesse os slides interativos sobre fluxogramas e algoritmos para sequências não recursivas na plataforma Teachy] ## Na prática [Sequence 5] Assim como em Hogwarts os feitiços precisam ser praticados até sair com naturalidade, construir fluxogramas fica mais fácil a cada vez que você o faz. Vamos começar com a estrutura básica e avançar para sequências figurais. [P1] Observe o fluxograma abaixo, que representa um algoritmo para calcular termos de uma sequência: > **Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 4n - 1$ → Escreva $a_n$ → Fim** Utilize o fluxograma para calcular os três primeiros termos da sequência, substituindo $n = 1$, $n = 2$ e $n = 3$. --- [P2] A sequência numérica 3, 7, 11, 15, 19, … tem regra geral $a_n = 4n - 1$. Construa um fluxograma que represente o algoritmo para calcular qualquer termo dessa sequência a partir de sua posição $n$. O fluxograma deve conter: início, entrada de $n$, cálculo de $a_n$, saída do resultado e fim. *Dica: Um fluxograma de cálculo direto tem sempre a mesma estrutura: início → entrada → operação → saída → fim. Escreva cada etapa dentro do símbolo correto (retângulo para processo, paralelogramo para entrada/saída).* --- [P3] A sequência figural abaixo representa arranjos de quadradinhos: > **Posição 1:** 1 quadradinho | **Posição 2:** 4 quadradinhos | **Posição 3:** 9 quadradinhos | **Posição 4:** 16 quadradinhos a) Identifique a regra geral $a_n$ que expressa o número de quadradinhos em função da posição $n$. b) Utilize essa regra para construir um fluxograma que permita calcular o número de quadradinhos em qualquer posição da sequência. *Dica: Organize os dados em uma tabela posição × valor e observe se a diferença entre termos consecutivos é constante ou crescente — isso indica se a regra é linear ou quadrática.* [chapter-section: Zoom] Ao calcular os termos pelo fluxograma de [P1], você usou a fórmula direto pela posição — sem olhar para o termo anterior. Mas e se alguém tentasse calcular $a_3$ adicionando algo ao valor de $a_2$? Que informação extra seria necessária que o fluxograma não pede? O que isso revela sobre a diferença entre sequências recursivas e não recursivas? ## Exercícios [Sequence 6] Eu, Harry, já vi em Hogwarts que os desafios mais interessantes aparecem quando aplicamos o que aprendemos em situações novas — e é exatamente o que faremos agora. Será que você consegue identificar o fluxograma correto para cada sequência sem precisar calcular todos os termos anteriores? Em resumo, cada exercício a seguir é uma oportunidade de mostrar que você domina o algoritmo de ponta a ponta. [I1] A tabela a seguir mostra os primeiros termos de uma sequência numérica: | Posição ($n$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | Termo ($a_n$) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | Com base na tabela, qual fluxograma representa corretamente o algoritmo para calcular qualquer termo dessa sequência? (A) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = n + 5$ → Escreva $a_n$ → Fim (B) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 5n$ → Escreva $a_n$ → Fim (C) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 5n + 1$ → Escreva $a_n$ → Fim (D) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = n \times n$ → Escreva $a_n$ → Fim (E) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 5 + 5$ → Escreva $a_n$ → Fim **Gabarito:** B --- [I2] Uma sequência figural é formada por hexágonos regulares dispostos em fileiras: - Posição 1: 1 hexágono - Posição 2: 3 hexágonos - Posição 3: 5 hexágonos - Posição 4: 7 hexágonos A regra geral dessa sequência é $a_n = 2n - 1$. Construa um fluxograma que represente o algoritmo para determinar o número de hexágonos em qualquer posição da sequência. Em seguida, aplique o fluxograma para encontrar o número de hexágonos na posição 12. [LINES: 6] --- [I3] Um arquiteto está projetando uma escadaria decorativa para um jardim público. Cada degrau é formado por blocos de concreto empilhados: o primeiro degrau tem 2 blocos, o segundo tem 5 blocos, o terceiro tem 8 blocos e o quarto tem 11 blocos. Para guiar os operários na construção, o arquiteto precisa de um algoritmo — na forma de fluxograma — que permita calcular quantos blocos serão necessários em qualquer degrau, sem precisar contar os degraus anteriores. A regra geral da sequência é $a_n = 3n - 1$. Qual dos fluxogramas a seguir representa corretamente o algoritmo para calcular o número de blocos no $n$-ésimo degrau? (A) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 3n - 1$ → Escreva $a_n$ → Fim (B) Início → Calcule $a_n = 3n - 1$ → Leia $n$ → Escreva $a_n$ → Fim (C) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = n - 1$ → Escreva $a_n$ → Fim (D) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 3(n - 1)$ → Escreva $a_n$ → Fim (E) Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 3n + 1$ → Escreva $a_n$ → Fim **Gabarito:** A --- [I4] Durante uma aula de ciências, a professora apresentou a seguinte sequência para representar o crescimento de uma colônia de bactérias ao longo das horas: | Hora ($n$) | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---| | Número de bactérias (em centenas) | 3 | 6 | 9 | 12 | a) Determine a regra geral $a_n$ que representa o número de bactérias (em centenas) na hora $n$. b) Construa um fluxograma com o algoritmo que permite calcular o número de bactérias em qualquer hora, a partir da regra encontrada. [LINES: 6] --- [I5] Pedro e Ana construíram fluxogramas diferentes para representar o algoritmo de uma mesma sequência numérica: 2, 5, 8, 11, 14, … - **Fluxograma de Pedro:** Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 3n - 1$ → Escreva $a_n$ → Fim - **Fluxograma de Ana:** Início → Leia $n$ → Calcule $a_n = 3(n - 1) + 2$ → Escreva $a_n$ → Fim Verifique, para $n = 1$, $n = 3$ e $n = 5$, se os dois fluxogramas produzem os mesmos resultados. Com base nessa verificação, explique se os dois algoritmos são equivalentes e qual deles você considera mais simples de utilizar. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na plataforma Teachy e receber correção automática] --- [Sequence 8] Chegamos ao fim desta jornada pelas sequências não recursivas. Você saiu do reconhecimento de padrões, passou pela construção da lei de formação e chegou agora ao poder de transformar qualquer regra em um algoritmo visual, claro e reutilizável. Retomando a pergunta que acompanhou todo o capítulo: *como transformar a regra de uma sequência em um passo a passo que qualquer pessoa possa seguir?* A resposta está na estrutura do fluxograma: início, entrada de $n$, cálculo de $a_n$, saída do resultado, fim. Esse roteiro serve para qualquer sequência não recursiva, independentemente de quão complexa seja a fórmula. Pense se o resultado faz sentido: se você construiu um fluxograma para $a_n = 5n$ e calculou $a_3 = 15$, verifique que $15 = 5 \times 3$ — o resultado deve bater exatamente com o que a fórmula diz. Não confie apenas no fluxograma: teste pelo menos dois ou três valores antes de concluir que o algoritmo está correto. **Auto-avaliação:** Para cada habilidade abaixo, marque seu nível de confiança: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:-----------|:----------------------|:-----------------|:--------------------| | Reconhecer se uma sequência é não recursiva (não depende de termos anteriores) | ( ) | ( ) | ( ) | | Encontrar e representar algebricamente a lei de formação $a_n = f(n)$ | ( ) | ( ) | ( ) | | Construir um fluxograma para calcular qualquer termo de uma sequência não recursiva | ( ) | ( ) | ( ) | Das habilidades acima, qual você ainda considera mais desafiadora? O que poderia fazer para praticar mais?