Construindo um Algoritmo para Prever os Próximos Termos

# Construindo um Algoritmo para Prever os Próximos Termos [Sequence 4] Eu me lembro do dia em que, em Hogwarts, a professora Hermione me explicou que qualquer feitiço complexo começa com um roteiro preciso — passo a passo, sem ambiguidade, na ordem certa. Se você errar a sequência, o resultado é imprevisível. Nas aulas anteriores, você aprendeu a identificar sequências recursivas e a expressar suas regras de formação — como "cada termo é o anterior mais 3" ou "cada termo é a soma dos dois anteriores". Agora vamos dar o próximo passo: transformar essa regra em um algoritmo, um roteiro que qualquer pessoa consiga seguir para gerar os termos que quiser. ## O que é um Algoritmo? Eu gosto de pensar em um algoritmo como uma receita de poção: uma sequência finita e ordenada de instruções simples e sem ambiguidade que, quando seguidas corretamente, produzem sempre o mesmo resultado. Você já se perguntou o que aconteceria se uma receita não dissesse com que ingrediente começar? O caos seria garantido. Da mesma forma, um algoritmo para sequências recursivas precisa especificar exatamente de onde partir e o que fazer em cada etapa. Um algoritmo completo para gerar os próximos termos de uma sequência recursiva tem três componentes essenciais: - **Condição inicial:** o(s) primeiro(s) termo(s) da sequência, sem os quais nenhum cálculo pode começar. - **Regra de recorrência:** a operação que transforma o(s) termo(s) anterior(es) no próximo. - **Condição de parada:** o critério que determina quando encerrar o processo — por exemplo, "gere 6 termos" ou "pare quando o valor ultrapassar 100". Em resumo, um algoritmo para sequências recursivas é o conjunto formado pela condição inicial, pela regra de recorrência e pela condição de parada — e os três componentes são igualmente indispensáveis. ## Fluxograma: o Algoritmo em Forma de Diagrama Um fluxograma é a representação visual de um algoritmo usando símbolos padronizados conectados por setas. Eu acho essa forma de organizar ideias muito parecida com os mapas de Hogwarts — cada corredor leva a um lugar específico, e nenhuma porta abre sem a sequência certa de passos. Os quatro símbolos principais de um fluxograma são: - **Óvalo:** marca o início ou o fim do algoritmo. - **Retângulo:** representa uma ação ou cálculo (definir um valor, aplicar a regra). - **Losango:** representa uma decisão com resposta "Sim" ou "Não" — como "Há mais termos a calcular?". - **Seta:** indica a direção do fluxo entre os passos. A estrutura de um fluxograma para sequências recursivas segue sempre o mesmo esquema: começar pelo início, definir os termos iniciais, aplicar a regra de recorrência, registrar o novo termo, verificar a condição de parada e, quando ela for satisfeita, encerrar. **Images:** - [PLOT] Fluxograma padronizado para sequência recursiva geral: Óvalo "Início" → Retângulo "Defina os termos iniciais" → Retângulo "Aplique a regra: aₙ = f(aₙ₋₁)" → Retângulo "Registre o novo termo" → Losango "Há mais termos a calcular?" → (Sim) seta volta para "Aplique a regra" → (Não) seta vai para Óvalo "Fim". Diagrama limpo, vertical, com labels nos símbolos e cores diferenciadas por tipo de bloco (óvalo cinza, retângulo azul, losango laranja), sem texto extra além dos rótulos indicados. | flowchart-sequencia-recursiva-geral.png | 9:16 ## Exemplo 1: Construindo o Fluxograma Passo a Passo Vamos investigar isso juntos com um exemplo concreto. Considere a sequência recursiva definida por **a₁ = 2** e **aₙ = aₙ₋₁ + 5**. Como construir o fluxograma que gera os próximos termos? **Passo 1 — Defina a condição inicial:** Registre a₁ = 2 no primeiro retângulo após o início. Sem esse valor de partida, o algoritmo não tem de onde começar. **Passo 2 — Aplique a regra de recorrência:** A regra diz que cada termo é o anterior mais 5. No fluxograma, isso aparece em um retângulo: "Calcule aₙ = aₙ₋₁ + 5". **Passo 3 — Registre o novo termo:** Logo após o cálculo, um retângulo anota o resultado: "Registre o valor de aₙ". **Passo 4 — Verifique a condição de parada:** Um losango pergunta: "Deseja calcular mais um termo?" Se a resposta for Sim, a seta volta ao Passo 2. Se for Não, o fluxo vai ao Fim. Executando esse algoritmo a partir de a₁ = 2: o segundo termo é 2 + 5 = **7**; o terceiro é 7 + 5 = **12**; o quarto é 12 + 5 = **17**; o quinto é 17 + 5 = **22**. A sequência gerada é 2, 7, 12, 17, 22, … ## Exemplo 2: Fluxograma para Fibonacci A sequência de Fibonacci, que você já conhece, tem dois termos iniciais — **a₁ = 1** e **a₂ = 1** — e a regra **aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂**. O fluxograma para essa sequência tem uma pequena diferença: o retângulo de condição inicial precisa registrar dois valores, e o retângulo de cálculo precisa referenciar os dois termos anteriores. Executando o algoritmo: a₃ = 1 + 1 = **2**; a₄ = 2 + 1 = **3**; a₅ = 3 + 2 = **5**; a₆ = 5 + 3 = **8**. A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, … cresce seguindo exatamente o padrão descrito no fluxograma. Esse mesmo padrão aparece na natureza de forma surpreendente, como na espiral da concha do náutilo ou na ramificação dos galhos de uma árvore. **Images:** - [https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/cf562935641d9fc0da37e2f283c2dc194d7fb3640aee9bc644bd1947c69bae1d.jpg](https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/cf562935641d9fc0da37e2f283c2dc194d7fb3640aee9bc644bd1947c69bae1d.jpg) — Fotografia em preto e branco da concha de um náutilo, revelando sua espiral perfeita e interior em câmaras | Attribution: Fonte: Edward Weston - Wikimedia Commons [chapter-section: Sabia?] O náutilo constrói câmaras novas seguindo sempre a mesma proporção em relação às anteriores, de maneira muito semelhante ao padrão da sequência de Fibonacci. Essa espiral da natureza inspirou matemáticos e artistas por séculos — e hoje eu a enxergo como um algoritmo gravado pela evolução ao longo de milhões de anos. ## Exemplo 3: Uma Sequência Decrescente Eu aprendi que algoritmos funcionam para qualquer regra recursiva — inclusive quando a sequência diminui. Considere **a₁ = 100** e **aₙ = aₙ₋₁ − 15**. O fluxograma segue a mesma estrutura dos exemplos anteriores: condição inicial, regra de recorrência, verificação da parada. Executando: a₂ = 100 − 15 = **85**; a₃ = 85 − 15 = **70**; a₄ = 70 − 15 = **55**; a₅ = 55 − 15 = **40**. Nesse caso, uma condição de parada natural poderia ser "pare quando o termo se tornar negativo". Perceba que a estrutura do fluxograma não muda — o que muda é apenas a regra dentro do retângulo de cálculo. Isso mostra que o algoritmo é uma ferramenta geral: aprendendo a montá-lo uma vez, você o aplica a qualquer sequência recursiva. [INTERACTIVE: a1-sl | Acesse os slides interativos sobre construção de fluxogramas para sequências recursivas na plataforma Teachy] ## Na prática [Sequence 5] Agora que eu já mostrei como construir e ler fluxogramas, é a sua vez de investigar isso comigo. Os exercícios a seguir partem de situações diretas e avançam em complexidade — comece pelo primeiro e confira se o seu raciocínio se confirma antes de avançar. **[P1]** (DOK 1) Observe o fluxograma abaixo, que representa o algoritmo para gerar os termos de uma sequência recursiva: > **Fluxograma:** > Início → Defina a₁ = 2 → Calcule o próximo termo: aₙ = aₙ₋₁ + 3 → Registre o novo termo → Há mais termos a calcular? → (Sim) volta para "Calcule o próximo termo" → (Não) Fim Usando esse fluxograma a partir de a₁ = 2, quais são o 2º, o 3º e o 4º termos da sequência? (A) 5, 8, 11 (B) 4, 6, 8 (C) 6, 9, 12 (D) 5, 10, 15 **Gabarito:** (A) **[P2]** (DOK 1) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … segue a regra de Fibonacci: cada termo é a soma dos dois anteriores. Um estudante quer construir um fluxograma para gerar os próximos termos dessa sequência. Qual das etapas abaixo deve aparecer obrigatoriamente no início do fluxograma, antes de qualquer cálculo? (A) Calcular a diferença entre dois termos consecutivos. (B) Registrar as condições iniciais: a₁ = 1 e a₂ = 1. (C) Verificar se a sequência é crescente ou decrescente. (D) Multiplicar o último termo pelo penúltimo. **Gabarito:** (B) **[P3]** (DOK 2) A sequência 3, 6, 12, 24, 48, … tem a regra: cada termo é o dobro do anterior. a) Escreva, em palavras, o algoritmo (passo a passo) que permite calcular qualquer termo seguinte dessa sequência a partir do termo conhecido. b) Usando o algoritmo que você descreveu, determine o 6º e o 7º termos da sequência. _Dica: Um bom algoritmo começa pelos valores iniciais conhecidos e depois descreve a operação que transforma um termo no próximo. Verifique se a sua descrição funciona para os termos já dados antes de calcular os novos._ **[P4]** (DOK 2) Analise o fluxograma a seguir, que apresenta um erro: > **Fluxograma com erro:** > Início → a₁ = 4 → aₙ = aₙ₋₁ + 5 → Registre o novo termo → Fim Um estudante usou esse fluxograma e calculou apenas um termo além do inicial. Depois, o fluxograma encerrou o processo. a) Identifique qual etapa está faltando no fluxograma para que ele possa gerar múltiplos termos. b) Reescreva o fluxograma corrigido, descrevendo cada etapa em ordem. _Dica: Em um fluxograma para sequências, o algoritmo normalmente não pode parar após calcular um único termo — pense em que tipo de estrutura permite repetir um passo várias vezes._ ## Exercícios [Sequence 6] Nos exercícios a seguir, você aplicará seus conhecimentos sobre sequências recursivas e fluxogramas em situações variadas — da biologia ao planejamento financeiro. Leia cada enunciado com atenção antes de escolher ou construir sua resposta. **[I1]** (DOK 2) A tabela a seguir mostra a quantidade de bactérias em uma cultura ao longo de horas consecutivas: | Hora | Quantidade de bactérias | |------|------------------------| | 1 | 100 | | 2 | 200 | | 3 | 400 | | 4 | 800 | | 5 | ? | A pesquisadora responsável quer criar um algoritmo — representado por um fluxograma — para prever a quantidade de bactérias em qualquer hora seguinte. Qual é a sequência correta de etapas desse fluxograma? (A) Início → Registrar a quantidade atual → Multiplicar por 2 → Registrar nova quantidade → Deseja continuar? → (Sim) volta para multiplicar → (Não) Fim (B) Início → Registrar a quantidade atual → Somar 100 → Registrar nova quantidade → Deseja continuar? → (Sim) volta para somar → (Não) Fim (C) Início → Registrar a quantidade atual → Dividir por 2 → Registrar nova quantidade → Deseja continuar? → (Sim) volta para dividir → (Não) Fim (D) Início → Multiplicar por 2 → Registrar a quantidade atual → Deseja continuar? → (Sim) volta para o início → (Não) Fim (E) Início → Registrar a quantidade atual → Somar a quantidade atual a si mesma e depois subtrair 100 → Registrar nova quantidade → Deseja continuar? → (Sim) volta para somar → (Não) Fim **Gabarito:** (A) **[I2]** (DOK 3) Um aplicativo de planejamento financeiro registra o saldo de uma conta ao longo de meses consecutivos. No 1º mês, o saldo era R$ 500,00. A partir do 2º mês, o saldo de cada mês é calculado somando R$ 150,00 ao saldo do mês anterior. O desenvolvedor precisa implementar um algoritmo — descrito por um fluxograma — para que o aplicativo projete automaticamente o saldo dos próximos meses. Considerando que o fluxograma deve representar corretamente esse algoritmo recursivo, assinale a alternativa que descreve a estrutura completa e funcional desse fluxograma: (A) Início → Saldo inicial = 500 → Novo saldo = saldo anterior + 150 → Exibir novo saldo → Deseja projetar mais um mês? → (Sim) volta para calcular → (Não) Fim (B) Início → Saldo inicial = 150 → Novo saldo = saldo anterior + 500 → Exibir novo saldo → Deseja projetar mais um mês? → (Sim) volta para calcular → (Não) Fim (C) Início → Saldo inicial = 500 → Novo saldo = saldo anterior × 150 → Exibir novo saldo → Deseja projetar mais um mês? → (Sim) volta para calcular → (Não) Fim (D) Início → Novo saldo = saldo anterior + 150 → Exibir novo saldo → Deseja projetar mais um mês? → (Sim) volta para calcular → (Não) Fim (E) Início → Saldo do mês 1 = 500 → Saldo do mês 2 = 650 → Saldo do mês 3 = 800 → Fim **Gabarito:** (A) **[I3]** (DOK 2) Observe o fluxograma abaixo, que foi construído para gerar os termos de uma sequência recursiva: > **Fluxograma:** > Início → a₁ = 1, a₂ = 3 → Calcule: aₙ = aₙ₋₂ + aₙ₋₁ → Registre o novo termo → Deseja calcular mais um termo? → (Sim) volta para "Calcule" → (Não) Fim a) Identifique de qual tipo de sequência recursiva esse fluxograma trata, justificando com base na regra de formação indicada. b) Execute o fluxograma a partir das condições iniciais dadas e determine o 3º, o 4º e o 5º termos da sequência. [LINES: 6] **[I4]** (DOK 3) Uma professora pediu a três estudantes que construíssem fluxogramas para a mesma sequência recursiva: 5, 8, 11, 14, 17, … Os três alunos produziram descrições diferentes: - **Aluno A:** "Início → a₁ = 5 → aₙ = aₙ₋₁ + 3 → Registre o novo termo → Continuar? → (Sim) volta para calcular → (Não) Fim" - **Aluno B:** "Início → aₙ = aₙ₋₁ + 3 → Registre o novo termo → Continuar? → (Sim) volta para calcular → (Não) Fim" - **Aluno C:** "Início → a₁ = 5 → a₂ = 8 → aₙ = aₙ₋₁ + 3 → Registre o novo termo → Continuar? → (Sim) volta para calcular → (Não) Fim" Analise os três fluxogramas e explique qual deles representa um algoritmo correto para gerar os termos da sequência. Para os que estiverem incorretos, incompletos ou desnecessariamente redundantes, indique o problema específico. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] [Sequence 8] ## O que você aprendeu neste capítulo? Eu gosto de pensar que, ao longo deste capítulo, você aprendeu a fazer algo que poucos conseguem: transformar uma regra matemática abstrata em um roteiro tão claro que qualquer pessoa — ou qualquer computador — poderia segui-lo. Primeiro, você identificou sequências recursivas como aquelas em que cada termo depende dos anteriores. Depois, você expressou as regras de formação. E agora, você aprendeu a organizar condição inicial, regra de recorrência e condição de parada em um fluxograma — tornando o processo de geração de termos preciso e reproduzível. Em resumo, um algoritmo para sequências recursivas une três elementos indispensáveis — condição inicial, regra de recorrência e condição de parada — e o fluxograma é a forma visual de expressar esse algoritmo de maneira que qualquer pessoa consiga seguir. Antes de avançar, verifique o que você domina. Para cada habilidade abaixo, marque seu nível de confiança: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:-----------|:----------------------|:-----------------|:--------------------| | Identificar uma sequência como recursiva | ( ) | ( ) | ( ) | | Expressar a regra de formação em termos dos termos anteriores | ( ) | ( ) | ( ) | | Construir um fluxograma para gerar os próximos termos | ( ) | ( ) | ( ) | Das habilidades acima, qual você considera mais desafiadora e por quê? Em uma frase, complete: "Um fluxograma para sequências recursivas sempre precisa de…" [INTERACTIVE: a2-fc | Revise os conceitos de sequências recursivas com flash cards interativos na plataforma Teachy]