Divisão em Partes Diretamente Proporcionais

# Divisão em Partes Diretamente Proporcionais [Sequence 4] Nas aulas anteriores, eu aprendi junto com você a usar a regra de três simples e composta para resolver problemas com grandezas proporcionais. Agora vamos dar um passo a mais: e quando precisamos **dividir** uma quantidade em partes que não são iguais, mas sim proporcionais a certos valores? Pense nisso como um feitiço mais refinado — em vez de encontrar um único valor desconhecido, vamos repartir um total entre várias partes, cada uma respeitando sua própria proporção. ## O que é dividir em partes diretamente proporcionais? Em Hogwarts, eu imagino que se a professora Minerva McGonagall precisasse distribuir poções entre três estudantes proporcionalmente às suas notas, quem tivesse a maior nota receberia a maior porção. Dividir em partes diretamente proporcionais é exatamente isso: distribuir um total de forma que cada parte seja proporcional ao índice correspondente, mantendo sempre a mesma razão entre parte e índice. A ferramenta central desse processo é a **constante de proporcionalidade k**. Ela funciona como um multiplicador único que, aplicado a cada índice, gera a parte correspondente. Em resumo, k representa o "valor por unidade de índice" e garante que todas as partes mantenham a mesma razão com seus respectivos índices. ## Como calcular a constante k e as partes Vamos investigar isso juntos passo a passo. Para dividir um total T em partes diretamente proporcionais aos índices a, b e c, eu sigo três etapas simples que aprendi a aplicar sempre na mesma ordem: **Passo 1 — Calcule a soma dos índices:** some todos os índices dados (a + b + c). **Passo 2 — Encontre a constante k:** divida o total T pela soma dos índices: k = T ÷ (a + b + c) **Passo 3 — Calcule cada parte multiplicando k pelo índice:** Parte A = k · a Parte B = k · b Parte C = k · c **Verificação obrigatória:** some as partes e confira se Parte A + Parte B + Parte C = T. Se não fechar, há um erro de cálculo — nunca pule essa etapa, pois ela é como um feitiço de checagem que revela qualquer deslize! **Images:** - PLOT: Diagrama de barras horizontais mostrando a divisão de R$ 600,00 em três partes proporcionais aos índices 1, 2 e 3. Barra total de R$ 600, subdividida em segmentos de R$ 100, R$ 200 e R$ 300 com rótulos dos índices e valores. Cores distintas para cada segmento. | divisao-proporcional-barras.png | 16:9 ## Exemplo resolvido: divisão de lucro entre sócios Três sócias — Aline, Bruna e Camila — abriram uma barraca de comidas em uma feira de artesanato. Investiram, respectivamente, R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 200,00. No final do mês, o lucro total foi de R$ 4.000,00. Como dividir esse lucro proporcionalmente ao investimento de cada uma? **Passo 1:** Soma dos índices (investimentos): 300 + 500 + 200 = 1.000 **Passo 2:** Constante k: k = 4.000 ÷ 1.000 = 4 **Passo 3:** Parte de cada sócia: - Aline: 4 · 300 = R$ 1.200,00 - Bruna: 4 · 500 = R$ 2.000,00 - Camila: 4 · 200 = R$ 800,00 **Verificação:** 1.200 + 2.000 + 800 = 4.000 ✓ Perceba que Bruna investiu mais e, por isso, recebeu a maior parte do lucro. Essa é exatamente a essência da divisão diretamente proporcional: quem contribui mais, recebe mais — na mesma proporção. ## Exemplo resolvido: distribuição de doação escolar Uma ONG doou 900 cadernos para três escolas de um município. A escola A tem 150 alunos, a escola B tem 250 alunos e a escola C tem 100 alunos. Os cadernos serão distribuídos proporcionalmente ao número de alunos de cada escola. Quantos cadernos cada escola recebe? **Passo 1:** Soma dos índices (número de alunos): 150 + 250 + 100 = 500 **Passo 2:** Constante k: k = 900 ÷ 500 = 1,8 **Passo 3:** Cadernos por escola: - Escola A: 1,8 · 150 = 270 cadernos - Escola B: 1,8 · 250 = 450 cadernos - Escola C: 1,8 · 100 = 180 cadernos **Verificação:** 270 + 450 + 180 = 900 ✓ Você consegue ver que o valor de k (1,8) representa o número de cadernos que cada aluno receberia se fosse calculado individualmente? Essa interpretação de k como "por unidade" é muito útil para checar se o resultado faz sentido. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre divisão em partes diretamente proporcionais na plataforma Teachy] [chapter-section: Zoom] Imagine que você vai dividir R$ 1.200,00 entre dois amigos proporcionalmente a 3 e 5. Se você calculasse a parte de cada um dividindo R$ 1.200,00 por 2 (número de partes) e distribuindo igualmente, que erro cometeria? Qual seria o valor correto de cada parte usando os índices 3 e 5? [chapter-section: Sabia?] A divisão proporcional é a base matemática dos sistemas de distribuição de representantes no parlamento brasileiro. O número de deputados federais eleitos por cada estado é proporcional ao tamanho de sua população — estados mais populosos elegem mais representantes. Agora que você já domina a teoria, é hora de colocar as mãos na massa! ## Na prática [Sequence 5] Eu gosto de pensar nos exercícios a seguir como treinos de Quadribol: cada problema é uma rodada, e o objetivo é aplicar os três passos sem errar nenhuma etapa. Será que você consegue resolver todos e ainda conferir a soma no final? Nos exercícios a seguir, aplique o método e não esqueça da verificação. Em resumo, o sucesso está em calcular k corretamente e checar a soma das partes ao final. [P1] (DOK 1) Três amigos vão dividir uma conta de R$ 180,00 em partes diretamente proporcionais aos seus salários. Os salários são R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00. Complete a tabela abaixo, identificando o valor que cada um deve pagar. | Pessoa | Salário (R$) | Parte da conta (R$) | |--------|-------------|---------------------| | Ana | 1.000 | | | Bruno | 2.000 | | | Carla | 3.000 | | | **Total** | **6.000** | **180,00** | Qual é o valor que cada pessoa deve pagar? _Dica: Para encontrar a parte de cada um, calcule a razão entre o salário de cada pessoa e a soma total dos salários. Depois multiplique essa fração pelo valor total da conta. Ao final, verifique se a soma dos três valores é igual a R$ 180,00._ [P2] (DOK 2) Um terreno de 480 m² deve ser dividido entre três irmãos em partes diretamente proporcionais às quantias que cada um investiu na compra. Marcos investiu R$ 12.000,00, Laura investiu R$ 20.000,00 e Pedro investiu R$ 8.000,00. a) Calcule a área (em m²) que caberá a cada irmão. b) Identifique qual irmão receberá a maior parte e explique por que isso ocorre na divisão diretamente proporcional. _Dica: Some os investimentos para encontrar o total. A parte de cada irmão corresponde à fração que seu investimento representa no total, aplicada à área do terreno. Confirme que a soma das três áreas é 480 m²._ [P3] (DOK 2) Uma indústria fabricou 2.100 peças em um dia. Essa produção foi dividida entre três turnos de trabalho em partes diretamente proporcionais à duração de cada turno. O turno da manhã durou 6 horas, o da tarde durou 5 horas e o da noite durou 3 horas. Quantas peças foram produzidas em cada turno? _Dica: Considere a duração de cada turno como a grandeza à qual a produção é proporcional. Verifique se a soma das peças dos três turnos é igual a 2.100._ **Atenção ao erro mais comum:** Muitos estudantes dividem o total em partes iguais, ignorando os índices de proporção. Lembre-se de que na divisão diretamente proporcional cada parte **não** é necessariamente igual às outras — cada uma é proporcional ao seu índice. Só serão iguais se todos os índices forem iguais! ## Exercícios [Sequence 6] Chegou a hora de você resolver sozinho — como aprendi a fazer em Hogwarts nas provas do professor Snape! Você já praticou com suporte; agora, a pergunta é: consegue identificar os índices, calcular k e verificar a soma sem nenhuma dica extra? Em resumo, o que diferencia uma resposta correta de uma errada aqui é exatamente a aplicação rigorosa dos três passos que estudamos. [I1] (DOK 2) Uma escola recebeu uma doação de 360 livros para distribuir entre as turmas do 6º, 7º e 8º anos, em partes diretamente proporcionais ao número de alunos matriculados. O 6º ano tem 90 alunos, o 7º ano tem 120 alunos e o 8º ano tem 150 alunos. Qual é o número de livros que cada turma receberá? (A) 6º ano: 80 livros; 7º ano: 120 livros; 8º ano: 160 livros (B) 6º ano: 90 livros; 7º ano: 120 livros; 8º ano: 150 livros (C) 6º ano: 72 livros; 7º ano: 96 livros; 8º ano: 192 livros (D) 6º ano: 90 livros; 7º ano: 115 livros; 8º ano: 155 livros (E) 6º ano: 80 livros; 7º ano: 100 livros; 8º ano: 180 livros **Gabarito:** (B) [I2] (DOK 3) Uma cooperativa agrícola produziu 4.500 kg de mel em uma safra e decidiu distribuir essa produção entre três apicultores associados em partes diretamente proporcionais ao número de colmeias que cada um mantém. O apicultor Antônio tem 30 colmeias, Beatriz tem 45 colmeias e Carlos tem 75 colmeias. No contexto de divisões proporcionais, quando se diz que a distribuição é feita em partes **diretamente proporcionais** ao número de colmeias, isso significa que: (A) todos os apicultores recebem a mesma quantidade de mel, independentemente de quantas colmeias têm. (B) o apicultor com mais colmeias recebe uma fração menor da produção total. (C) a quantidade de mel recebida por cada apicultor aumenta na mesma proporção que o número de colmeias que ele possui. (D) o total de mel é dividido em partes iguais e, depois, redistribuído conforme o número de colmeias. (E) quanto mais colmeias um apicultor tem, menos mel ele recebe, pois precisa alimentar mais abelhas. **Gabarito:** (C) [I3] (DOK 2) Três sócios decidiram abrir um restaurante e investiram valores diferentes: Débora investiu R$ 15.000,00, Eduardo investiu R$ 25.000,00 e Flávia investiu R$ 10.000,00. No final do primeiro ano, o lucro total foi de R$ 30.000,00, que será dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos seus investimentos. a) Calcule o valor do lucro que caberá a cada sócio. b) Elabore um problema diferente, com um contexto de sua escolha, em que uma quantidade deva ser dividida entre três pessoas em partes diretamente proporcionais a valores dados. Apresente o enunciado e a solução. [LINES: 10] [I4] (DOK 3) Em uma corrida de revezamento escolar, três atletas percorreram distâncias em partes diretamente proporcionais ao seu rendimento físico. O resultado dos testes físicos indicou que Ana tem rendimento 3, Beto tem rendimento 5 e Caio tem rendimento 2. A distância total da corrida foi de 4.000 metros. Um colega afirmou: _"Como a corrida é em partes diretamente proporcionais ao rendimento, se Ana e Caio somassem seus rendimentos, juntos percorreriam a mesma distância que Beto."_ a) Verifique se a afirmação do colega está correta, calculando as distâncias percorridas por cada atleta. b) Explique o que significa, neste contexto, a divisão ser "diretamente proporcional" ao rendimento físico. [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]