Divisão em Partes Inversamente Proporcionais

[Sequence 4] Eu sou Harry Potter, e posso dizer que, em Hogwarts, aprendi que certos feitiços funcionam exatamente ao contrário do que se espera. Na aula anterior, você e eu descobrimos juntos como dividir uma quantidade em partes *diretamente* proporcionais: somávamos os índices, calculávamos a constante k e multiplicávamos. Agora vamos investigar juntos uma situação em que a lógica funciona ao contrário — como se fosse um feitiço de reversão, em que quem tem o maior índice recebe a menor parte. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/33a6568dbdb4849d8d0ab89bb1c91f199edd84624a286e2c684f251bb1dd98d7.jpg — Voluntários organizando caixas e sacolas para distribuição de suprimentos durante ação comunitária | Attribution: Fonte: Alex Rocha/PMPA - Wikimedia Commons ## Dividindo ao Contrário: a Lógica Inversa Pense comigo: se três caminhões precisam receber mercadorias para equilibrar suas cargas totais, faz sentido que o caminhão que já carrega *mais* receba *menos* na distribuição, não é? Essa é exatamente a ideia da divisão em partes **inversamente proporcionais**: quanto maior o índice de referência, menor a parte recebida. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento de uma provoca a redução proporcional da outra, de forma que o **produto entre elas permanece constante**. Velocidade e tempo são o exemplo clássico: para percorrer a mesma distância, quem vai mais rápido leva menos tempo. Esse produto fixo é chamado de constante de proporcionalidade inversa (x · y = k). Na divisão inversamente proporcional, eu aplico essa mesma ideia: em vez de dividir proporcionalmente aos valores dados, divido proporcionalmente aos seus **recíprocos** (ou inversos). O recíproco de um número x é simplesmente 1/x. Assim, o recíproco de 2 é 1/2, o de 3 é 1/3 e o de 4 é 1/4. Quanto maior o valor original, menor fica o recíproco — e esse é exatamente o efeito de inversão que buscamos. [chapter-section: Zoom] Você consegue perceber por que usar os recíprocos garante que quem tem o maior índice recebe a menor parte? Se os pesos são 2, 3 e 4, seus recíprocos são 1/2, 1/3 e 1/4 — agora o maior original (4) corresponde ao menor recíproco (1/4). Que relação fascinante, não acha? ## O Método dos Recíprocos Eu descobri que o segredo para resolver qualquer divisão inversamente proporcional está em transformar o problema em uma divisão *diretamente* proporcional usando os recíprocos — como se um feitiço de inversão fosse lançado sobre os índices. Vamos investigar esse método em quatro passos. **Passo 1 — Identifique os índices de referência** (os valores aos quais as partes serão inversamente proporcionais). **Passo 2 — Calcule o recíproco** de cada índice: 1/p₁, 1/p₂, …, 1/pₙ. Se os índices não forem inteiros simples, use um denominador comum para facilitar as contas. **Passo 3 — Some os recíprocos** para obter S = 1/p₁ + 1/p₂ + … + 1/pₙ. **Passo 4 — Calcule cada parte** multiplicando o total M pelo recíproco correspondente e dividindo por S: X₁ = M × (1/p₁) ÷ S, X₂ = M × (1/p₂) ÷ S, e assim por diante. Em resumo, toda divisão inversamente proporcional se transforma em uma divisão diretamente proporcional quando você substitui os índices pelos seus recíprocos. **Images:** - PLOT: Diagrama com fundo branco mostrando a transformação de pesos originais em recíprocos: à esquerda, coluna "Pesos originais" com valores 2, 3 e 6; no centro, setas azuis apontando para a direita rotuladas "recíproco = 1/x"; à direita, coluna "Recíprocos" com valores 1/2, 1/3 e 1/6 em destaque laranja; abaixo das setas, uma legenda: "Maior valor original → menor recíproco"; estilo limpo e educacional, sem grades | reciprocos-transformacao.png | 16:9 [chapter-section: Comparando...] Na divisão **diretamente** proporcional, eu uso os índices diretamente para calcular as partes — quem tem o maior índice recebe a maior parcela. Na divisão **inversamente** proporcional, eu substituo os índices pelos seus recíprocos antes de fazer a mesma conta — por isso quem tem o maior índice recebe a *menor* parcela. A operação matemática em si é idêntica; o que muda é o ponto de partida. ## Exemplos Resolvidos **Exemplo 1 — Distribuição de litros de água** Dois recipientes recebem 120 litros de água de forma inversamente proporcional aos números 2 e 6. - Passo 1: índices → 2 e 6 - Passo 2: recíprocos → 1/2 e 1/6 - Passo 3: soma dos recíprocos → 1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 - Passo 4: - Recipiente A: 120 × (1/2) ÷ (2/3) = 120 × (1/2) × (3/2) = 120 × 3/4 = **90 litros** - Recipiente B: 120 × (1/6) ÷ (2/3) = 120 × (1/6) × (3/2) = 120 × 1/4 = **30 litros** - Verificação: 90 + 30 = 120 ✓ O índice 2 (menor) gerou a parte maior (90 L), e o índice 6 (maior) gerou a parte menor (30 L) — exatamente a inversão esperada! **Exemplo 2 — Divisão de salário entre pintores** Antônio e Beatriz pintam juntos uma parede. Antônio tem velocidade 4 m²/h e Beatriz tem velocidade 3 m²/h. O salário de R$ 280,00 será dividido inversamente proporcional às velocidades — porque quem pinta mais devagar passou mais tempo trabalhando. - Passo 1: índices de velocidade → 4 e 3 - Passo 2: recíprocos → 1/4 e 1/3 - Passo 3: soma → 1/4 + 1/3 = 3/12 + 4/12 = 7/12 - Passo 4: - Antônio: 280 × (1/4) ÷ (7/12) = 280 × (1/4) × (12/7) = 280 × 12/28 = 280 × 3/7 = **R$ 120,00** - Beatriz: 280 × (1/3) ÷ (7/12) = 280 × (1/3) × (12/7) = 280 × 12/21 = 280 × 4/7 = **R$ 160,00** - Verificação: 120 + 160 = 280 ✓ Beatriz recebeu mais (R$ 160,00) porque tem velocidade menor (3 m²/h), significando que ela levou mais tempo para concluir a mesma tarefa. A inversão funcionou como esperado. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre divisão em partes inversamente proporcionais na plataforma Teachy] [Sequence 5] ## Na prática Agora é sua vez de lançar o feitiço de inversão! Eu já mostrei o caminho — você consegue perceber o padrão e aplicar o método sozinho? Vamos praticar com situações do dia a dia, avançando passo a passo. [P1] (DOK 1) Uma quantidade de 120 litros de água deve ser distribuída entre dois recipientes de forma inversamente proporcional aos números 3 e 5. Calcule a quantidade de água que cada recipiente recebe. _Dica: Em uma divisão inversamente proporcional, os índices são "invertidos" antes de serem usados. Use os inversos 1/3 e 1/5 (ou, equivalentemente, 5 e 3) como novos índices e aplique o método da divisão diretamente proporcional._ [P2] (DOK 2) Três funcionários, Antônio, Beto e Carla, vão pintar juntos uma parede. As suas velocidades de pintura são, respectivamente, 6 m²/h, 4 m²/h e 3 m²/h. O salário total pelo serviço é de R$ 390,00 e será dividido inversamente proporcional à velocidade de cada um — pois quem pinta mais devagar passou mais tempo trabalhando. Calcule quanto cada funcionário deve receber. a) Determine os valores inversamente proporcionais às velocidades dos três funcionários. b) Calcule o valor recebido por cada um. _Dica: Quem tem velocidade maior recebe menos. Para encontrar os índices da divisão inversamente proporcional, tome os inversos das velocidades (1/6, 1/4 e 1/3) e, em seguida, encontre um denominador comum para expressá-los como frações equivalentes — os numeradores serão seus novos índices._ [P3] (DOK 2) Uma herança de R$ 12.000,00 deve ser dividida entre dois herdeiros de forma inversamente proporcional às suas idades. O herdeiro mais novo tem 20 anos e o mais velho tem 30 anos. Determine o valor que cada herdeiro receberá e verifique se a soma das partes é igual ao total. _Dica: Identifique os índices da divisão inversamente proporcional. Lembre-se de que, nesse tipo de divisão, o índice "maior" corresponde à parte "menor"._ Em resumo, o método dos recíprocos funciona como um feitiço: troque os índices pelos seus inversos e aplique a divisão direta de sempre. Se a soma das partes bater com o total, você sabe que o encantamento foi lançado corretamente! [Sequence 6] ## Exercícios Chegou a hora de provar o que você aprendeu! Eu acredito que, assim como em Hogwarts, a prática leva à maestria — e esses problemas vão colocar seu conhecimento à prova em contextos novos. Você está pronto para enfrentar cada um deles? [I1] (DOK 2) Em uma fazenda, dois tratores devem arar um campo juntos. O trator A leva 4 horas para arar o campo sozinho, e o trator B leva 6 horas sozinho. O dono decide dividir o campo entre os dois tratores de forma inversamente proporcional ao tempo que cada um levaria para completar o serviço sozinho — pois o trator mais rápido (menor tempo) ficará com a maior área. Determine a área que cada trator arará, sabendo que o campo total tem 120 hectares. [LINES: 6] [I2] (DOK 2) Uma distribuidora recebe 480 caixas de produto e precisa dividi-las entre três armazéns (A, B e C) de forma inversamente proporcional à capacidade já ocupada de cada armazém. As capacidades já ocupadas são: Armazém A — 40%, Armazém B — 60%, Armazém C — 80%. a) Determine os índices a serem usados na divisão inversamente proporcional. b) Calcule o número de caixas destinado a cada armazém. [LINES: 8] [I3] (DOK 3 — ENEM-style) Uma empresa de logística distribui um carregamento de 3.600 kg de mercadorias entre três caminhões. Os caminhões já carregados pesam, respectivamente, 1.200 kg, 1.800 kg e 2.400 kg. Para equilibrar a distribuição final, o carregamento é dividido de forma inversamente proporcional à carga que cada caminhão já transporta — os caminhões com menor carga recebem mais mercadoria. Qual das alternativas apresenta, corretamente, o total transportado por cada caminhão após a nova distribuição? (A) Caminhão 1: 2.400 kg, Caminhão 2: 2.400 kg, Caminhão 3: 1.800 kg (B) Caminhão 1: 2.600 kg, Caminhão 2: 2.200 kg, Caminhão 3: 1.800 kg (C) Caminhão 1: 2.800 kg, Caminhão 2: 2.200 kg, Caminhão 3: 2.000 kg (D) Caminhão 1: 3.000 kg, Caminhão 2: 2.400 kg, Caminhão 3: 1.800 kg (E) Caminhão 1: 2.000 kg, Caminhão 2: 2.400 kg, Caminhão 3: 2.800 kg **Gabarito:** C [I4] (DOK 3 — síntese) Três estudantes — Lucas, Marina e Pedro — decidiram dividir a redação de um trabalho escolar de 2.400 palavras de forma inversamente proporcional ao número de horas disponíveis que cada um tem na semana. Lucas tem 8 horas disponíveis, Marina tem 6 horas e Pedro tem 4 horas. a) Explique, com suas palavras, por que faz sentido usar uma divisão inversamente proporcional nessa situação. b) Calcule quantas palavras cada estudante deverá escrever. [LINES: 10] Em resumo, sempre que uma distribuição precisa favorecer quem tem menos de um recurso, o método dos recíprocos é a ferramenta certa — e você já sabe usá-la! [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]