Divisão Simultaneamente Proporcional

# Divisão Simultaneamente Proporcional [Sequence 4] Nas aulas anteriores, você aprendeu a dividir uma quantidade em partes diretamente proporcionais — em que quem contribui mais recebe mais — e em partes inversamente proporcionais — em que quem tem mais de uma grandeza recebe menos. Agora, eu, Harry, trago o desafio final desta jornada: e quando as duas condições aparecem ao mesmo tempo num único problema? ## Quando duas regras valem ao mesmo tempo Lembro de uma situação em Hogwarts em que Dumbledore precisava distribuir pontos entre as casas levando em conta dois critérios ao mesmo tempo: o desempenho nos exames, que favorecia quem se saía melhor (critério direto), e o número de infrações cometidas, que penalizava quem acumulou mais problemas (critério inverso). Será que você consegue imaginar como fazer uma divisão justa que respeite as duas condições simultaneamente? Na matemática, esse procedimento é chamado de **divisão simultaneamente diretamente e inversamente proporcional**. Ela combina, num único problema, grandezas que atuam de modo direto com grandezas que atuam de modo inverso, gerando um índice combinado que representa a contribuição real de cada participante. Por isso, uma grandeza é direta quando "mais dela significa receber mais", e inversa quando "mais dela significa receber menos". Em resumo, o objetivo é transformar esse cenário de dois critérios num único valor proporcional por participante, e é exatamente isso que o método a seguir faz. ## O método passo a passo Para realizar uma divisão simultaneamente proporcional, sigo sempre o mesmo conjunto de etapas. O segredo está em converter o problema em uma divisão diretamente proporcional a índices combinados. **Passo 1 — Identifique as grandezas diretas e as grandezas inversas.** Leia o enunciado com atenção e separe quais grandezas fazem a parte aumentar (diretas) e quais fazem a parte diminuir (inversas). **Passo 2 — Calcule o índice combinado de cada participante.** Para cada participante, multiplique o valor da grandeza direta pelo inverso (1 ÷ valor) da grandeza inversa. O resultado é o peso misto desse participante. **Passo 3 — Some todos os índices combinados.** Esse total será o denominador comum da divisão. **Passo 4 — Calcule a parte de cada participante** usando a fórmula: > parte de cada um = (índice combinado ÷ soma dos índices combinados) × total **Passo 5 — Verifique o resultado.** Some todas as partes calculadas: o total deve ser exatamente igual ao valor original a ser dividido. Se não for, revise os cálculos desde o Passo 2. **Images:** - PLOT: Diagrama de fluxo vertical com 5 caixas conectadas por setas, cada caixa com o nome e uma descrição curta de cada passo (1: Identificar grandezas, 2: Calcular índice combinado, 3: Somar índices, 4: Calcular cada parte, 5: Verificar) | metodo-divisao-mista.png | 3:4 ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1:** Dois sócios, Beatriz e Rafael, investiram em uma pequena padaria. Beatriz aplicou R$ 6 000 e Rafael aplicou R$ 3 000. O lucro de R$ 1 800 será dividido diretamente proporcional ao capital investido e inversamente proporcional às horas diárias de trabalho: Beatriz trabalhou 3 horas e Rafael trabalhou 1 hora. - Grandeza direta — capital: Beatriz = 6 000; Rafael = 3 000 - Grandeza inversa — horas: Beatriz = 3; Rafael = 1 - Índice combinado de Beatriz: 6 000 × (1/3) = 2 000 - Índice combinado de Rafael: 3 000 × (1/1) = 3 000 - Soma dos índices: 2 000 + 3 000 = 5 000 - Parte de Beatriz: (2 000 / 5 000) × 1 800 = 0,4 × 1 800 = **R$ 720** - Parte de Rafael: (3 000 / 5 000) × 1 800 = 0,6 × 1 800 = **R$ 1 080** - Verificação: 720 + 1 080 = 1 800 ✓ Perceba que, embora Beatriz tenha investido o dobro do capital, Rafael trabalhou muito menos horas, e isso elevou o índice combinado dele acima do dela, garantindo-lhe uma fatia maior do lucro. **Exemplo 2:** Uma prefeitura vai distribuir R$ 12 000 entre três bairros. Os critérios são: diretamente proporcional ao número de habitantes e inversamente proporcional ao número de obras já realizadas. | Bairro | Habitantes | Obras realizadas | Índice combinado | |-----------|-----------|------------------|-----------------------------| | Vila Nova | 4 000 | 2 | 4 000 × (1/2) = **2 000** | | Jardim | 6 000 | 3 | 6 000 × (1/3) = **2 000** | | Centro | 6 000 | 1 | 6 000 × (1/1) = **6 000** | - Soma dos índices: 2 000 + 2 000 + 6 000 = 10 000 - Vila Nova: (2 000 / 10 000) × 12 000 = **R$ 2 400** - Jardim: (2 000 / 10 000) × 12 000 = **R$ 2 400** - Centro: (6 000 / 10 000) × 12 000 = **R$ 7 200** - Verificação: 2 400 + 2 400 + 7 200 = 12 000 ✓ Note que Vila Nova tem menos habitantes que Jardim, mas também tem menos obras realizadas; os dois efeitos se equilibraram, produzindo o mesmo índice combinado e, portanto, a mesma fatia. O Centro, com o mesmo número de habitantes que Jardim mas muito menos obras, teve índice três vezes maior e recebeu três vezes mais recursos. [chapter-section: Zoom] Você percebeu que Vila Nova e Jardim receberam a mesma quantia, mesmo tendo populações diferentes? Analisando os índices combinados de cada bairro, o que tornou os dois resultados iguais? Escreva sua explicação em uma frase antes de continuar. [INTERACTIVE: a1-sl | Acesse os slides interativos sobre divisão simultaneamente proporcional na plataforma Teachy para revisar o método com exemplos animados] [Sequence 5] ## Na prática Eu aprendi em Hogwarts que a melhor forma de fixar um feitiço novo é praticá-lo com situações reais — e com grandezas proporcionais não é diferente. Você está pronto para testar o método que acabamos de aprender? Vamos começar por situações mais diretas e avançar gradualmente para combinações mais complexas. [P1] (DOK 1) Três sócios investiram, respectivamente, R$ 2 000, R$ 4 000 e R$ 6 000 em uma empresa. Ao final do ano, o lucro foi de R$ 12 000. O lucro será dividido em partes diretamente proporcionais aos investimentos de cada sócio. Calcule o valor que cada sócio receberá. [P2] (DOK 2) Três funcionários realizaram a mesma tarefa em 1 hora, 2 horas e 3 horas, respectivamente. Uma bonificação de R$ 1 100 será distribuída entre eles em partes inversamente proporcionais ao tempo que cada um levou para concluir a tarefa. Determine o valor que cada funcionário receberá. _Dica: Quem terminou mais rápido recebe a maior parte. Calcule o inverso de cada tempo (1/1, 1/2 e 1/3) e use esses valores como pesos na divisão._ [P3] (DOK 2) Uma escola arrecadou R$ 1 980 em uma campanha de solidariedade envolvendo três turmas. A comissão organizadora decidiu distribuir o valor de forma simultânea: R$ 1 320 serão divididos diretamente proporcionais ao número de alunos de cada turma, e R$ 660 serão divididos inversamente proporcionais ao número de alunos. O número de alunos nas turmas A, B e C é, respectivamente, 10, 20 e 30. a) Calcule o valor que cada turma recebe na parte proporcional direta. b) Calcule o valor que cada turma recebe na parte proporcional inversa. c) Determine o total recebido por cada turma. _Dica: Para a parte inversa, calcule os inversos de 10, 20 e 30 e reduza-os a uma razão de números inteiros usando o mínimo múltiplo comum._ Em resumo, nos exercícios acima você revisou a divisão direta (P1), a divisão inversa (P2) e uma variação que separa os dois critérios em montantes distintos (P3) — cada uma dessas abordagens é uma ferramenta diferente para resolver situações proporcionais do dia a dia. [chapter-section: Comparando...] Na parte direta (P3a), uma turma com mais alunos recebe mais. Na parte inversa (P3b), a lógica se inverte: mais alunos significa fatia menor. Ao somar as duas partes, o total de cada turma se equilibra em relação ao que ocorreria com apenas um critério. Compare os resultados de P3 com os de P1 e reflita: quando faz mais sentido usar os dois critérios juntos? [Sequence 6] ## Exercícios Chegou a hora de voar sozinho, como eu fiz na primeira vez que subi numa vassoura em Hogwarts — sem rede de proteção, mas com toda a preparação necessária. Nesta seção, eu espero que você aplique o método completo em situações novas e variadas. Em cada problema, identifique os critérios diretos e inversos, calcule os índices combinados e mostre todos os passos do seu raciocínio. Em resumo, demonstre que você domina a divisão simultaneamente proporcional de ponta a ponta. [I1] (DOK 2) Uma herança de R$ 90 000 foi dividida entre três herdeiros. A divisão foi feita de forma simultaneamente proporcional: diretamente proporcional à idade de cada herdeiro e inversamente proporcional ao número de filhos que cada um possui. Os dados são: | Herdeiro | Idade (anos) | Número de filhos | |----------|--------------|------------------| | Ana | 60 | 2 | | Bruno | 40 | 2 | | Carla | 30 | 3 | Calcule o valor que cada herdeiro receberá, justificando cada etapa do cálculo. [LINES: 8] [I2] (DOK 2) Uma cooperativa de três agricultores colheu 4 800 kg de grãos. A produção será dividida de forma simultaneamente proporcional: diretamente proporcional à área plantada e inversamente proporcional ao número de trabalhadores contratados. Os dados são: | Agricultor | Área plantada (ha) | Trabalhadores contratados | |------------|--------------------|--------------------------| | Fazenda A | 12 | 2 | | Fazenda B | 6 | 2 | | Fazenda C | 4 | 4 | Determine a quantidade de grãos, em kg, que cada agricultor receberá. [LINES: 6] [I3] (DOK 2) Uma escola precisa distribuir 360 kits escolares entre três turmas do 8º ano. A coordenação decidiu adotar uma divisão simultânea: diretamente proporcional ao número de alunos matriculados e inversamente proporcional ao número de kits que cada turma já recebeu em doações anteriores. Os dados das turmas são: | Turma | Alunos matriculados | Kits já recebidos | |-------|---------------------|-------------------| | 8A | 30 | 2 | | 8B | 20 | 4 | | 8C | 10 | 1 | a) Calcule os pesos combinados para cada turma multiplicando a parte direta pela parte inversa. b) Determine quantos kits cada turma receberá. [LINES: 8] [I4] (DOK 3) _Uma prefeitura precisa distribuir uma verba de R$ 120 000 entre três bairros para obras de saneamento básico. A secretaria de obras adotou dois critérios simultâneos: a verba deve ser diretamente proporcional à população de cada bairro e inversamente proporcional ao número de obras de infraestrutura já realizadas nos últimos dois anos. Os dados dos bairros são apresentados na tabela._ | Bairro | População (hab.) | Obras realizadas | |------------|------------------|-----------------| | Alegria | 15 000 | 5 | | Boa Vista | 8 000 | 2 | | Consolação | 25 000 | 5 | Qual é o valor, em reais, que o bairro Boa Vista deve receber? (A) R$ 20 000 (B) R$ 25 000 (C) R$ 30 000 (D) R$ 40 000 (E) R$ 50 000 **Gabarito:** D [I5] (DOK 2) A tabela abaixo apresenta informações sobre três funcionários de uma empresa que receberão um bônus de R$ 6 600, distribuído de forma simultaneamente proporcional: diretamente proporcional aos anos de empresa de cada funcionário e inversamente proporcional ao número de faltas registradas no ano. | Funcionário | Anos de empresa | Faltas no ano | |-------------|-----------------|---------------| | Ana | 10 | 2 | | Bruno | 4 | 1 | | Carla | 6 | 3 | Calcule o bônus de cada funcionário, apresentando todos os passos do desenvolvimento. [LINES: 8] [I6] (DOK 3) _Uma ONG de reflorestamento urbano vai distribuir 2 400 mudas de árvores entre quatro praças de um bairro. A distribuição será feita de forma simultaneamente proporcional: diretamente proporcional à área de cada praça e inversamente proporcional ao número de árvores que cada praça já possui. A equipe técnica levantou os seguintes dados:_ | Praça | Área (m²) | Árvores existentes | |-------|-----------|--------------------| | P1 | 1 200 | 2 | | P2 | 900 | 3 | | P3 | 800 | 2 | | P4 | 400 | 2 | a) Calcule o peso combinado (área ÷ árvores existentes) de cada praça. b) Determine o número de mudas que cada praça receberá. c) Elabore uma situação-problema diferente que também envolva divisão simultaneamente proporcional a dois critérios. Identifique explicitamente qual grandeza é diretamente e qual é inversamente proporcional. [LINES: 12] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na plataforma Teachy e receber correção automática com feedback detalhado] [Sequence 8] ## O que você aprendeu neste capítulo Ao longo deste capítulo, eu e você percorremos toda a jornada das grandezas proporcionais. Começamos reconhecendo quando duas grandezas variam juntas, seja na mesma direção, seja em direções opostas. Depois, aplicamos a regra de três simples e composta para resolver problemas com múltiplas grandezas. Aprendemos a dividir quantidades em partes diretamente proporcionais e, em seguida, em partes inversamente proporcionais. Por fim, chegamos ao desafio que Dumbledore enfrentava com os pontos das casas: combinar os dois critérios ao mesmo tempo, calculando um índice combinado que torna a divisão simultaneamente justa em relação às duas grandezas. Em resumo, a divisão simultaneamente proporcional é exatamente o tipo de raciocínio que tribunais, cooperativas e prefeituras usam ao tomar decisões que afetam muitas pessoas — dominar esse cálculo é uma forma de participar com mais consciência do mundo à sua volta. Antes de avançar, marque seu nível de confiança em cada habilidade do capítulo: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:-----------|:----------------------|:----------------|:--------------------| | Resolver problemas com regra de três simples (direta e inversa) | ( ) | ( ) | ( ) | | Resolver problemas com regra de três composta | ( ) | ( ) | ( ) | | Elaborar um problema prático envolvendo grandezas proporcionais | ( ) | ( ) | ( ) | | Calcular divisão em partes diretamente proporcionais | ( ) | ( ) | ( ) | | Calcular divisão em partes inversamente proporcionais | ( ) | ( ) | ( ) | | Calcular divisão simultaneamente direta e inversamente proporcional | ( ) | ( ) | ( ) | Das habilidades acima, qual você considera mais desafiadora? Por que? Compartilhe sua resposta com um colega e discutam uma estratégia de revisão juntos. [INTERACTIVE: a2-rt | Acesse o tutor de revisão interativo na plataforma Teachy para revisar todo o capítulo de grandezas proporcionais com feedback personalizado] --- **Images:** - GENERATE: Ilustração mostrando três pessoas em volta de uma mesa com documentos e uma balança ao centro, representando uma decisão justa de divisão proporcional. Estilo amigável, diversidade étnica (uma pessoa negra, uma pessoa indígena, uma pessoa branca), contexto de cooperativa ou associação comunitária | divisao-proporcional-capa.png | 16:9