Dízima Periódica Composta

# Dízima Periódica Composta [Section 4] Nas aulas anteriores, você aprendeu a transformar dízimas periódicas simples em frações geratrizes. Nesse tipo de dízima, o período começa logo após a vírgula, como em 0,333… ou em 0,272727…. Agora, veja este número: 0,1333…. Existe uma diferença sutil, mas importante: o algarismo 1 aparece antes do "3" que se repete e esse algarismo não faz parte do ciclo de repetição. Esse detalhe muda completamente o procedimento de conversão — e é exatamente isso que você vai aprender a seguir. ## Antiperíodo: o que fica antes do período Uma **dízima periódica composta** é aquela em que, após a vírgula, existe um grupo de algarismos que não se repete antes de iniciar o período. Esse grupo inicial é chamado de **antiperíodo**, e sua presença distingue a dízima composta da simples. Assim, a dízima composta possui três partes distintas: a **parte inteira** (o número antes da vírgula), o **antiperíodo** (os algarismos após a vírgula que não se repetem) e o **período** (os algarismos que se repetem infinitamente). Em 0,1$\overline{3}$ = 0,1333…, por exemplo, o antiperíodo é "1" e o período é "3"; já em 2,45$\overline{6}$ = 2,45666…, a parte inteira é "2", o antiperíodo é "45" e o período é "6". **Imagens:** - PLOT: Diagrama horizontal anotado mostrando o número 2,45666… dividido em três partes coloridas: "2" (parte inteira, azul), "45" (antiperíodo, laranja) e "6̄" (período, verde), com setas e rótulos indicando cada parte. Fundo branco, tipografia clara para uso em livro didático. | componentes-dizima-composta.png | 3:1 ## O Método Algébrico para a Dízima Composta O método algébrico que você já conhece — multiplicar por potência de 10 e subtrair — continua sendo a base do procedimento. A diferença está em que, para a dízima composta, são necessárias **duas multiplicações**: uma que desloca a vírgula até o fim do antiperíodo, e outra que a desloca até o fim do primeiro ciclo do período. Ao subtrair as duas equações, as partes decimais infinitas se cancelam e resta uma equação com números inteiros. Formalizando: se *a* é a quantidade de algarismos do antiperíodo e *p* é a quantidade de algarismos do período, multiplica-se por $10^a$ e por $10^{a+p}$, e depois subtrai-se a primeira da segunda. O denominador resultante sempre terá *p* noves seguidos de *a* zeros. **Exemplo resolvido — 0,2$\overline{7}$:** O antiperíodo é "2" (1 algarismo) e o período é "7" (1 algarismo). - Seja $x = 0{,}2\overline{7}$ - $10x = 2{,}\overline{7}$ ← vírgula após o antiperíodo - $100x = 27{,}\overline{7}$ ← vírgula após o primeiro ciclo do período - $100x - 10x = 27{,}\overline{7} - 2{,}\overline{7}$ - $90x = 25 \Rightarrow x = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}$ O denominador 90 vem de: 1 nove (período de 1 algarismo) seguido de 1 zero (antiperíodo de 1 algarismo). ## O Método Prático para a Dízima Composta Assim como nas dízimas simples, o método algébrico revela um padrão que permite calcular a fração geratriz diretamente, sem montar as equações. O numerador é obtido subtraindo o número formado pela parte inteira + antiperíodo do número formado pela parte inteira + antiperíodo + período. O denominador é composto por tantos **9s** quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos **0s** quantos forem os algarismos do antiperíodo. Para 0,41$\overline{6}$ — antiperíodo "41" (2 algarismos), período "6" (1 algarismo): - Numerador: 416 − 41 = 375 - Denominador: 900 (um 9, dois 0s) - Fração geratriz: $\dfrac{375}{900} = \dfrac{5}{12}$ [chapter-callout-label: Zoom] **Você consegue explicar por que o denominador da dízima composta sempre termina em zeros?** Pense no papel do antiperíodo: ele é o motivo pelo qual a segunda multiplicação usa um expoente maior que a primeira — e essa diferença de expoente é o que gera os zeros finais. **Imagens:** - PLOT: Tabela visual de dois blocos lado a lado. Bloco esquerdo: "Dízima Simples" — período destacado em verde, denominador formado só por 9s. Bloco direito: "Dízima Composta" — antiperíodo em laranja e período em verde, denominador com 9s seguidos de 0s. Setas indicando a correspondência entre algarismos e dígitos do denominador. Estilo didático, fundo branco. | comparacao-denominadores.png | 16:9 [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Acesse o mapa mental interativo sobre dízimas periódicas e frações geratrizes na plataforma Teachy] [Section 5] ## Na prática Com o procedimento bem compreendido, é hora de aplicá-lo. Os exercícios a seguir progridem do reconhecimento básico até a aplicação do método completo. [P1] Classifique cada dízima abaixo como **periódica simples** ou **periódica composta** e identifique, em cada caso, a parte não periódica (antiperíodo) e o período: a) 0,1333… = 0,1$\overline{3}$ b) 0,4545… = 0,$\overline{45}$ c) 0,12666… = 0,12$\overline{6}$ d) 0,583333… = 0,58$\overline{3}$ --- [P2] Para obter a fração geratriz de 0,2$\overline{7}$ (dízima periódica composta com antiperíodo 2 e período 7), um estudante aplicou o seguinte procedimento: > **Passo 1:** Seja $x = 0{,}2\overline{7}$ > **Passo 2:** Multiplique por 10: $10x = 2{,}\overline{7}$ > **Passo 3:** Multiplique por 100: $100x = 27{,}\overline{7}$ > **Passo 4:** Subtraia: $100x - 10x = 27{,}\overline{7} - 2{,}\overline{7}$ > **Passo 5:** $90x = 25 \Rightarrow x = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}$ a) Explique por que o estudante multiplicou por 10 no Passo 2 e por 100 no Passo 3, e não por outros valores. b) Verifique se a fração $\dfrac{5}{18}$ é realmente igual a 0,2$\overline{7}$ efetuando a divisão. _Dica: O número de casas decimais antes do período determina a potência de 10 do primeiro produto; o número total de casas (antiperíodo + período) determina a potência do segundo._ --- [P3] Obtenha a fração geratriz de cada dízima periódica composta abaixo, reduzindo-a à sua forma irredutível: a) $0{,}1\overline{6}$ b) $0{,}41\overline{6}$ c) $1{,}3\overline{8}$ _Dica: Identifique o número de algarismos no antiperíodo e no período para escolher as potências de 10 corretas antes de subtrair as equações._ [chapter-callout-label: Comparando...] **Dízima simples × Dízima composta — como o denominador muda** | Tipo | Exemplo | Denominador | Regra | |------|---------|-------------|-------| | Simples | 0,$\overline{3}$ (período "3") | 9 | 1 nove, sem zeros | | Simples | 0,$\overline{45}$ (período "45") | 99 | 2 noves, sem zeros | | Composta | 0,1$\overline{3}$ (antiperíodo "1", período "3") | 90 | 1 nove + 1 zero | | Composta | 0,41$\overline{6}$ (antiperíodo "41", período "6") | 900 | 1 nove + 2 zeros | O zero no denominador é a marca que distingue a fração geratriz de uma dízima composta da de uma simples. Ao montar o denominador, muitos estudantes colocam apenas noves — como fazem para dízimas simples. Lembre-se: para a dízima composta, cada algarismo do antiperíodo corresponde a um zero no final do denominador. Não esqueça esse detalhe antes de simplificar a fração. [Section 6] ## Exercícios [I1] Uma calculadora exibiu o resultado de uma divisão como 0,083333…, ou seja, 0,08$\overline{3}$. Dois colegas tentaram encontrar a fração geratriz desse número: - **Taís** considerou que o antiperíodo tem 2 algarismos ("08") e o período tem 1 algarismo ("3"), e aplicou o procedimento com multiplicações por 100 e por 1 000. - **Bruno** ignorou o antiperíodo e tratou a dízima como se fosse 0,$\overline{3}$, obtendo $\dfrac{1}{3}$. Aplique o procedimento correto para determinar a fração geratriz de 0,08$\overline{3}$ e explique em qual etapa Bruno cometeu um erro conceitual. [LINES: 6] --- [I2] Em um experimento de ciências, Mariana mediu a densidade de um líquido e obteve o valor 1,36$\overline{6}$ g/cm³. Para registrar o resultado de forma exata em um relatório, ela precisa expressar esse valor como uma fração. Determine a fração geratriz de 1,36$\overline{6}$ e reduza-a à forma irredutível. [LINES: 5] --- [I3] Em uma aula de matemática, o professor escreveu no quadro: > "Todo número racional pode ser expresso como uma fração $\dfrac{p}{q}$, com $p$ e $q$ inteiros e $q \neq 0$. As dízimas periódicas são casos especiais de números racionais, pois possuem uma representação decimal infinita, porém com um padrão que se repete." O professor pediu que os alunos obtivessem a fração geratriz de $0{,}13\overline{27}$ — uma dízima periódica composta com antiperíodo "13" e período "27". Qual é a fração geratriz desse número? (A) $\dfrac{1314}{9999}$ (B) $\dfrac{1327}{9900}$ (C) $\dfrac{1314}{9900}$ (D) $\dfrac{1327}{9990}$ (E) $\dfrac{132}{990}$ **Gabarito:** C --- [I4] O gráfico abaixo representa três dízimas periódicas compostas posicionadas na reta numérica, identificadas como **P**, **Q** e **R**: - **P** = 0,1$\overline{6}$ (entre 0,1 e 0,2) - **Q** = 0,5$\overline{3}$ (entre 0,5 e 0,6) - **R** = 0,41$\overline{6}$ (entre 0,4 e 0,5) _[Descrição da imagem: reta numérica horizontal de 0 a 1, com marcações a cada 0,1. Os pontos P, Q e R estão marcados aproximadamente em suas posições. Uma seta indica cada ponto com o rótulo correspondente.]_ **Imagens:** - PLOT: Reta numérica horizontal de 0 a 1 com marcações a cada 0,1. Três pontos marcados: P ≈ 0,1667 (entre 0,1 e 0,2), Q ≈ 0,5333 (entre 0,5 e 0,6), R ≈ 0,4167 (entre 0,4 e 0,5). Cada ponto tem seta vertical e rótulo em negrito. Fundo branco, estilo didático. | reta-numerica-P-Q-R.png | 3:1 Calcule a fração geratriz de cada uma das três dízimas e, em seguida, ordene os pontos P, Q e R em ordem crescente de valor na reta numérica, justificando a ordenação com base nas frações obtidas. [LINES: 7] --- [I5] Em uma competição de matemática, o seguinte problema foi proposto: > "Sabe-se que $\dfrac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}$ (dízima periódica simples). Um aluno afirmou que $\dfrac{1}{70} = 0{,}0\overline{142857}$ é uma dízima periódica composta. Outro aluno discordou, dizendo que basta mudar o período. Quem está certo? Justifique aplicando o procedimento de obtenção da fração geratriz de $0{,}0\overline{142857}$ e verificando se o resultado é de fato $\dfrac{1}{70}$." a) Aplique o procedimento de obtenção da fração geratriz de $0{,}0\overline{142857}$, identificando corretamente o antiperíodo e o período. b) Explique por que $0{,}0\overline{142857}$ é classificada como dízima periódica composta, e não simples. [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] [Section 8] Com os exercícios concluídos, é momento de consolidar o que foi trabalhado ao longo deste capítulo. Você partiu das dízimas periódicas simples e chegou até as compostas, onde um antiperíodo precede o período e exige uma adaptação no procedimento. Nos dois casos, a ideia central é a mesma: multiplicar estrategicamente por potências de 10 para eliminar a parte decimal infinita e revelar a fração que gerou o número. **Como você responderia agora?** No início deste capítulo, a questão proposta foi: *Como transformar uma dízima periódica composta em fração sem perder nenhuma informação do número?* Escreva, com suas palavras, a resposta completa para essa pergunta — explicando o papel do antiperíodo e do período no procedimento. **Autoavaliação:** | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | |:-----------|:----------------------|:----------------|:--------------------| | Identificar o antiperíodo e o período em uma dízima composta | ( ) | ( ) | ( ) | | Reconhecer, a partir do capítulo anterior, como obter a fração geratriz de uma dízima simples | ( ) | ( ) | ( ) | | Aplicar o método algébrico para dízimas compostas | ( ) | ( ) | ( ) | | Construir o denominador com noves e zeros corretamente | ( ) | ( ) | ( ) | | Reduzir a fração geratriz à forma irredutível | ( ) | ( ) | ( ) | Em uma frase, complete: "A diferença entre obter a fração geratriz de uma dízima simples e de uma composta é que…" [INTERACTIVE: A2 | tutor de revisao | Acesse o tutor interativo de revisão sobre dízimas periódicas e frações geratrizes na plataforma Teachy]