Dízima Periódica Simples

# Dízimas Periódicas Simples [Section 1: (a) Contextualized Situation] Imagine que você e dois amigos decidiram dividir igualmente R$ 10,00 para comprar salgadinhos na cantina da escola. Cada um ficaria com R$ 3,33... certo? Só que, por mais que você escreva, o 3 nunca para de aparecer: 3,333333... A calculadora confirma: 10 ÷ 3 = 3,3333… Esse número é uma **dízima periódica** — um decimal que jamais termina porque um grupo de algarismos se repete infinitamente. Mas será que esse valor sem fim pode ser escrito de forma exata, como uma fração? Essa é a pergunta que vai guiar todo o nosso estudo. **Images:** - [GENERATE] Ilustração mostrando três estudantes em uma cantina escolar dividindo R$10,00 em três partes iguais; balão de fala com "3,333…" e expressão de surpresa | divisao-cantina-dizima.png | 4:3 [Section 2: (a) Recall Diagnostic Questions] [D1] Quando você divide 1 por 4, o resultado é 0,25 — uma dízima que termina. Mas o que acontece quando você divide 1 por 3 na calculadora? O que você observa no resultado? O que essa diferença entre os dois resultados significa para você? [Section 4] ## O que é uma dízima periódica simples? Ao fazer certas divisões, o resultado decimal nunca termina — e isso não é um erro da calculadora. Esse fenômeno tem um nome preciso: **dízima periódica**. Trata-se de um número decimal cuja parte fracionária é infinita, mas apresenta um padrão: um grupo de algarismos que se repete indefinidamente. Esse grupo que se repete recebe o nome de **período**. A **dízima periódica simples** é aquela em que o período começa logo após a vírgula, sem nenhum algarismo não-periódico no meio. Por exemplo, em 0,333…, o período é o algarismo 3 e ele aparece imediatamente após a vírgula. O mesmo ocorre com 0,121212…, cujo período é 12, e com 0,5555…, cujo período é 5. Quando houver algarismos que não fazem parte do período separando a vírgula do início da repetição, estaremos diante de uma dízima periódica composta — esse caso será estudado no próximo capítulo. Para representar o período de forma compacta, usa-se um traço (vírgula) sobre os algarismos que se repetem. Assim, escreve-se 0,3̄ para 0,333… e 0,1̄2̄ para 0,121212…. **Images:** - [PLOT] Diagrama de linha do tempo horizontal mostrando a estrutura de uma dízima periódica simples: "0," seguido do período destacado em uma caixa com seta indicando repetição infinita; abaixo, outro exemplo mostrando 0,121212… com o período "12" destacado | dizima-simples-estrutura.png | 16:9 ## A fração geratriz Toda dízima periódica é um número racional: isso significa que ela pode ser expressa como a razão entre dois números inteiros. A fração que representa essa razão e que, ao ser dividida, gera a dízima periódica, chama-se **fração geratriz**. Obter a fração geratriz é, portanto, o processo inverso de fazer a divisão: em vez de dividir uma fração e obter a dízima, partimos da dízima e chegamos à fração. Toda dízima periódica simples tem exatamente uma fração geratriz, que pode ou não estar em sua forma irredutível — por isso, ao final do procedimento, é importante verificar se a fração pode ser simplificada. ## Método algébrico de conversão O procedimento para converter uma dízima periódica simples em fração geratriz usa uma ideia elegante: subtrair o próprio número de um múltiplo seu para eliminar a parte infinita. Primeiro, chame a dízima de *x*. Em seguida, multiplique *x* por 10^n, onde *n* é o número de algarismos do período — essa operação desloca exatamente um ciclo completo para a esquerda da vírgula. Ao subtrair a equação original da nova, as partes decimais infinitas se cancelam, restando uma equação simples com solução inteira. Por fim, resolva para *x* e simplifique a fração, se possível. **Exemplo resolvido 1 — período de 1 algarismo:** Obtenha a fração geratriz de 0,666… - Seja x = 0,666… - O período tem 1 algarismo, então multiplicamos por 10¹ = 10: - 10x = 6,666… - Subtraindo a equação original: - 10x − x = 6,666… − 0,666… - 9x = 6 - Portanto: x = 6/9 = **2/3** **Verificação:** 2 ÷ 3 = 0,666… ✓ **Exemplo resolvido 2 — período de 2 algarismos:** Obtenha a fração geratriz de 0,272727… - Seja x = 0,272727… - O período tem 2 algarismos, então multiplicamos por 10² = 100: - 100x = 27,272727… - Subtraindo a equação original: - 100x − x = 27,272727… − 0,272727… - 99x = 27 - Portanto: x = 27/99 = **3/11** **Verificação:** 3 ÷ 11 = 0,272727… ✓ **Images:** - [PLOT] Diagrama em dois blocos lado a lado mostrando os passos do método algébrico: bloco esquerdo com o exemplo 0,666… (x, 10x, subtração, resultado 6/9=2/3) e bloco direito com 0,2727… (x, 100x, subtração, resultado 27/99=3/11), com setas numeradas indicando cada passo | metodo-algebrico-passos.png | 2:1 [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre dízimas periódicas simples e frações geratrizes na plataforma Teachy] ## Método prático dos noves Depois de compreender o método algébrico, é possível perceber um padrão que simplifica bastante o trabalho. Ao aplicar o procedimento algébrico, o denominador da fração geratriz de uma dízima periódica simples é sempre formado apenas por noves — e a quantidade de noves corresponde exatamente ao número de algarismos do período. Isso leva ao **método prático**: o **numerador** é formado pelos algarismos do período, e o **denominador** é composto por tantos noves quantos forem os algarismos desse período. Para 0,333…, por exemplo, o período é 3 (1 algarismo), portanto a fração geratriz é 3/9 = 1/3; para 0,121212…, o período é 12 (2 algarismos), logo a fração é 12/99 = 4/33. [chapter-callout-label: Sabia?] O denominador de noves vem diretamente do método algébrico: ao subtrair *x* de 10^n · x, o resultado do denominador é sempre 10^n − 1, que corresponde a um número formado só por noves (9, 99, 999…). [Section 5] ## Na prática Agora é hora de aplicar o que você aprendeu. Comece identificando os elementos das dízimas, depois avance para a conversão completa. [P1] (DOK 1) Identifique o período de cada uma das dízimas periódicas simples abaixo e informe quantos algarismos ele possui: a) 0,777… b) 0,454545… c) 0,363636… _Dica: lembre-se de que na dízima periódica simples, o período começa imediatamente após a vírgula. Observe qual sequência de algarismos se repete indefinidamente._ [P2] (DOK 2) Usando o procedimento de conversão, obtenha a fração geratriz da dízima periódica simples 0,666… Siga os passos: chame a dízima de x, multiplique ambos os lados por uma potência de 10 que "desloque" um período completo, subtraia a equação original e encontre x. _Dica: Pense em quantos algarismos tem o período — esse número determina por qual potência de 10 você deve multiplicar x._ [P3] (DOK 2) Aplique o mesmo procedimento para obter a fração geratriz da dízima periódica simples 0,272727… _Dica: O período aqui tem dois algarismos. Multiplique x por 100, subtraia x e isole a fração._ [chapter-callout-label: Zoom] Ao obter uma fração geratriz, como você pode verificar se ela está correta sem usar a calculadora? Pense: se 0,333… = 1/3, então 0,666… deve ser o dobro disso. Faz sentido? Use essa lógica para conferir seus resultados antes de passar para o próximo exercício. [Section 6] ## Exercícios Nos exercícios a seguir, você vai aplicar o procedimento de conversão em situações variadas e justificar seu raciocínio. [I1] (DOK 3) Uma equipe de estudantes estava analisando a divisão de alimentos em porções iguais para uma festa. Ao dividir 2 pizzas entre 9 pessoas, cada calculadora do grupo mostrou o resultado 0,2222…, uma dízima periódica que não termina nunca. Surgiu então a dúvida: seria possível representar essa quantidade exata como uma fração? Para converter a dízima periódica simples 0,2222… em fração geratriz, um estudante chamou o número de x e escreveu: > 10x = 2,2222… > x = 0,2222… Subtraindo a segunda da primeira equação, obteve 9x = 2. A fração geratriz correta é: (A) 2/10 (B) 2/9 (C) 1/5 (D) 22/99 (E) 2/11 **Gabarito:** B --- [I2] (DOK 2) Na construção de uma maquete, um estudante precisa representar a medida 0,1111… metros com precisão — uma régua comum não consegue marcar esse valor exato, pois ele não termina. Para usar a medida com precisão em cálculos, é necessário convertê-la em fração. Obtenha a fração geratriz da dízima periódica simples 0,1111… [LINES: 5] --- [I3] (DOK 3) Considere as três dízimas periódicas simples a seguir: > A: 0,5555… > B: 0,181818… > C: 0,123123123… a) Obtenha a fração geratriz de cada uma delas, mostrando o procedimento completo. b) Explique por que todas as dízimas periódicas simples possuem uma fração geratriz — ou seja, por que é sempre possível representá-las como razão entre dois números inteiros. [LINES: 10] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática]