Equação do 2º Grau: ax² = b

[Sequence 0] # Equação do 2º Grau: ax² = b **Habilidade BNCC:** EF08MA09 — Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax² = b. **Microhabilidade:** - EF08MA09-M01 — Resolver equações polinomiais de 2º grau do tipo ax² = b utilizando métodos algébricos. --- [Sequence 1: (a) Contextualized Situation] Eu me chamo Harry Potter e, antes de aprender magia em Hogwarts, aprendi que todo feitiço começa com uma boa pergunta. Hoje, vamos investigar isso juntos: imagine que Carla, uma jovem arquiteta de Recife, precisa projetar uma praça pública com formato quadrado. A prefeitura exige que a praça tenha exatamente 144 m² de área — mas ninguém ainda sabe qual deve ser o comprimento de cada lado. Carla sabe que a área de um quadrado é calculada multiplicando o lado por ele mesmo, ou seja, lado². Então ela escreve: x² = 144. A equação está formada, mas como descobrir o valor de x? Se você conhece a área de um quadrado, como descobrir o comprimento de seu lado? Essa é a pergunta que vai guiar tudo o que estudaremos aqui. Guarde-a bem, porque ao final do capítulo você saberá respondê-la com precisão e segurança. **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/b9f3dbb5d71e963a7bac71b4b484498d.jpg — Estudante escrevendo equações matemáticas em quadro verde, representando o ambiente de resolução algébrica | Attribution: Fonte: freepik - "Student Solving Equations on Chalkboard" - Freepik [Sequence 2] Antes de mergulharmos na magia das equações de 2º grau, vamos recordar o que você já sabe — como eu faço antes de tentar qualquer feitiço novo em Hogwarts. [D1] Uma praça tem formato quadrado. Você sabe que a área total é 144 m². Como você calcularia o comprimento de cada lado dessa praça? Descreva o raciocínio que usaria para encontrar esse valor. [Sequence 4] ## Equação do tipo ax² = b Em Hogwarts, eu aprendi que reconhecer o tipo de problema é metade da solução — e o mesmo vale para a álgebra. Uma **equação polinomial de 2º grau** é toda equação em que a maior potência da incógnita é 2. A forma que vamos estudar aqui é a **equação incompleta do tipo ax² = b**: ela possui o termo quadrático ax² e o termo constante b, mas não tem o termo linear (com x sozinho). Nessa forma, **a** é o coeficiente do termo quadrático (com a ≠ 0) e **b** é o termo independente. Você consegue identificar, só de olhar para a equação, qual é o coeficiente a e qual é o termo b? Em resumo, uma equação ax² = b é reconhecida pela ausência do termo com x de primeiro grau. [chapter-section: Glossário] **coeficiente:** número que multiplica a incógnita ou sua potência numa equação; em ax², o coeficiente é **a**. **incógnita:** letra que representa o valor desconhecido que se quer determinar na equação. ## Como resolver uma equação ax² = b Para resolver esse tipo de equação, eu sigo três passos bem definidos — pense nisso como uma receita de poção que não pode ter ingredientes trocados. O objetivo é **isolar x** no lado esquerdo da equação. **Passo 1 — Dividir ambos os lados por a:** Se a equação é ax² = b, divida os dois lados pelo coeficiente a para obter x² = b/a. Isso isola o termo quadrático. **Passo 2 — Extrair a raiz quadrada de ambos os lados:** A **raiz quadrada** de um número n é o valor que, multiplicado por si mesmo, resulta em n. Por exemplo, √49 = 7 porque 7 × 7 = 49. Como (−7) × (−7) = 49 também, a raiz quadrada aplicada a x² produz dois resultados: x = +√(b/a) ou x = −√(b/a). **Passo 3 — Escrever as duas soluções:** Toda equação ax² = b com b/a > 0 possui exatamente duas soluções simétricas em relação ao zero: x = √(b/a) e x = −√(b/a). Essa **duplicidade de soluções** é uma característica fundamental das equações de 2º grau que não aparece nas equações de 1º grau. Em resumo, o método de resolução segue sempre a mesma ordem: dividir por a, extrair a raiz e registrar as duas soluções com o sinal ±. **Images:** - PLOT: Reta numérica horizontal com zero no centro; ponto marcado em +5 com a legenda "x = +5" e ponto marcado em −5 com a legenda "x = −5"; seta bidirecional ligando os dois pontos passando pelo zero, com o rótulo "soluções simétricas de x² = 25" | reta-solucoes-simetricas.png | 3:1 ## Exemplos resolvidos Vamos investigar dois exemplos para fixar o método — em Hogwarts, nenhum feitiço é tentado sem prática supervisionada. Que tal verificar se você chegaria ao mesmo resultado? **Exemplo 1:** Resolva 2x² = 50. *Passo 1:* Dividir ambos os lados por 2 → x² = 50 ÷ 2 = 25. *Passo 2:* Extrair a raiz quadrada → x = ±√25. *Passo 3:* Calcular → x = ±5. Portanto, x = 5 ou x = −5. *Verificação:* Substituindo x = 5: 2 × (5)² = 2 × 25 = 50. ✓ Substituindo x = −5: 2 × (−5)² = 2 × 25 = 50. ✓ Ambas as soluções são válidas. **Exemplo 2:** Resolva 3x² = 75. *Passo 1:* Dividir ambos os lados por 3 → x² = 75 ÷ 3 = 25. *Passo 2:* Extrair a raiz quadrada → x = ±√25. *Passo 3:* Calcular → x = 5 ou x = −5. *Verificação:* 3 × (5)² = 3 × 25 = 75. ✓ E 3 × (−5)² = 3 × 25 = 75. ✓ [chapter-section: Sabia?] Os **quadrados perfeitos** são números cuja raiz quadrada é um número inteiro: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144... Reconhecer esses valores facilita muito a resolução das equações ax² = b, pois a raiz é calculada de forma exata e sem arredondamentos. [INTERACTIVE: a1-mm | Explore o mapa mental interativo sobre equações do tipo ax² = b na plataforma Teachy e veja as conexões entre os conceitos] [Sequence 5] ## Na prática Agora é hora de colocar a mão na massa — ou, como eu diria, empunhar a varinha com confiança. Os exercícios a seguir foram organizados do mais simples ao mais desafiador, para que você construa segurança a cada passo. [P1] (DOK 1) Resolva a equação abaixo e encontre os valores de _x_ que a satisfazem: $$x^2 = 49$$ _Dica: Pergunte-se: qual número, multiplicado por ele mesmo, resulta em 49?_ --- [P2] (DOK 1) Determine os valores de _x_ que satisfazem a equação: $$4x^2 = 100$$ Apresente todos os passos da resolução, isolando _x²_ antes de extrair a raiz. _Dica: Comece dividindo ambos os lados da equação pelo coeficiente de x² para isolar x²._ --- [P3] (DOK 2) Um estudante afirmou que a equação $x^2 = 25$ tem apenas uma solução: $x = 5$. Explique por que essa afirmação está incompleta e apresente a solução correta e completa da equação. _Dica: Reflita sobre o que acontece quando multiplicamos um número negativo por ele mesmo._ --- [P4] (DOK 2) Resolva a equação $3x^2 = 75$ e verifique as soluções encontradas substituindo-as de volta na equação original. _Dica: Após isolar x², verifique se o valor obtido é positivo, negativo ou zero — isso determina quantas soluções reais existem._ --- Ao verificar suas respostas, perceba que substituir o valor encontrado de volta na equação original é uma forma poderosa de garantir que nenhum erro passou despercebido. Em resumo, dominar os três passos — dividir, extrair a raiz e registrar as duas soluções — é o coração do método algébrico para equações do tipo ax² = b. [Sequence 6] ## Exercícios Agora eu vou te convidar para um desafio de verdade — em Hogwarts, os melhores aprendizes são aqueles que aplicam o que sabem em situações novas. Você praticará o método algébrico em contextos reais, mostrando que dominou a habilidade de resolver equações do tipo ax² = b. Em resumo, cada exercício abaixo representa uma situação diferente que você pode encontrar fora da sala de aula. [I1] (DOK 2) Uma placa de sinalização tem formato quadrado. A área da placa é de 0,36 m². Um fabricante precisa saber o comprimento de cada lado para encomendar o material de reforço nas bordas. Determine o comprimento do lado da placa. [LINES: 4] --- [I2] (DOK 2) Em uma competição de robótica, uma arena quadrada tem área igual a 225 m². Os organizadores precisam instalar cercas ao longo de todo o perímetro da arena. a) Determine o lado da arena. b) Calcule o perímetro total que deverá ser cercado. [LINES: 6] --- [I3] (DOK 2) Observe o diagrama abaixo: _[Imagem: dois quadrados lado a lado — o quadrado da esquerda tem lado x e área indicada como "x²"; o quadrado da direita tem lado 2x e área indicada como "4x²". Uma seta aponta de um para o outro com o rótulo "×4".]_ Com base no diagrama, responda: a) Se a área do quadrado maior é 196 cm², escreva a equação que representa essa situação na forma $ax^2 = b$. b) Resolva a equação e determine o valor de _x_. [LINES: 5] --- [I4] (DOK 3) Uma empresa de design gráfico criou um logotipo quadrado para uma campanha publicitária. A versão impressa em banner grande deve ter área quatro vezes maior que a versão original. Se a área da versão original é representada por $x^2$ e a área do banner é $4x^2 = 900$ cm², qual é o lado da versão original do logotipo? (A) 7,5 cm (B) 10 cm (C) 15 cm (D) 22,5 cm (E) 30 cm **Gabarito:** C --- [I5] (DOK 2) Taíná, moradora de Manaus, quer reformar o piso de sua piscina de formato quadrado, que tem área de 81 m². O proprietário deseja instalar um azulejo decorativo ao longo de toda a borda (perímetro) da piscina. Determine o comprimento total da borda que deverá ser azulejada. [LINES: 4] --- [I6] (DOK 3 — síntese) Uma equação do tipo $ax^2 = b$ pode ter duas soluções, uma solução ou nenhuma solução real, dependendo dos valores de _a_ e _b_. Explique em cada caso abaixo quantas soluções reais existem e justifique algebricamente: a) $a > 0$ e $b > 0$ b) $a > 0$ e $b = 0$ c) $a > 0$ e $b < 0$ [LINES: 8] [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática] [Sequence 8] ## O que descobrimos? Voltemos à pergunta que abriu nosso capítulo: se você conhece a área de um quadrado, como descobrir o comprimento de seu lado? Agora eu sei responder — e você também. A situação de Carla leva à equação x² = 144, cuja solução é x = ±12. No contexto real, o comprimento é positivo, portanto cada lado da praça mede 12 metros. Isso faz sentido? Sim: 12 × 12 = 144 m². Em resumo, o método algébrico que estudamos permite resolver qualquer equação ax² = b em três passos: isolar x² dividindo por a, extrair a raiz quadrada e considerar as duas soluções simétricas. Reflita: em quais situações práticas apenas uma das duas soluções faz sentido no contexto do problema? Perceber quando a raiz negativa é matematicamente válida, mas não tem significado físico, é sinal de raciocínio maduro — exatamente o que Dumbledore chamaria de sabedoria aplicada. **Auto-avaliação:** Para cada habilidade abaixo, marque seu nível de confiança: | Habilidade | Ainda preciso praticar | Já consigo fazer | Domino completamente | | :--- | :--- | :--- | :--- | | Reconhecer uma equação do tipo ax² = b | ( ) | ( ) | ( ) | | Isolar x² dividindo pelo coeficiente a | ( ) | ( ) | ( ) | | Extrair a raiz quadrada e obter as duas soluções | ( ) | ( ) | ( ) | | Verificar as soluções substituindo na equação original | ( ) | ( ) | ( ) | | Resolver problemas contextualizados com equações ax² = b | ( ) | ( ) | ( ) | Das habilidades acima, qual você considera mais desafiadora? Por quê? [INTERACTIVE: a2-fc | Revise os conceitos de equações ax² = b com flash cards interativos na plataforma Teachy]