Equação Linear com Duas Incógnitas

# Equação Linear com Duas Incógnitas [Section 1: (a) Contextualized Situation] Imagine que você e um amigo combinaram de vender salgados em uma festa da escola para arrecadar fundos para a viagem de formatura. Vocês têm dois tipos de produto: coxinhas, vendidas a R$ 3,00 cada, e esfirras, vendidas a R$ 2,00 cada. A meta é arrecadar exatamente R$ 60,00 ao longo do evento. Quantas coxinhas e quantas esfirras vocês precisam vender para atingir essa meta? Será que existe apenas uma combinação possível, ou há várias formas diferentes de chegar ao mesmo total? **Imagens:** - GENERATE: Cena de uma barraca de salgados em festa escolar com dois jovens vendendo, placa com preços visíveis, ambiente animado e colorido | barraca-salgados-festa.png | 4:3 [Section 2: (a) Recall Diagnostic Questions] [D1] Você já aprendeu a resolver equações do tipo 2x + 3 = 7, onde há apenas uma incógnita. Agora pense em uma equação como x + y = 5. Quais pares de números você consegue encontrar que tornam essa igualdade verdadeira? Escreva pelo menos dois exemplos. [Section 4] ## Uma equação, duas variáveis A situação da barraca de salgados pode ser traduzida para a linguagem algébrica de forma direta. Se chamarmos de x o número de coxinhas vendidas e de y o número de esfirras, a condição de arrecadar exatamente R$ 60,00 se escreve assim: **3x + 2y = 60** Essa é uma **equação linear de 1º grau com duas incógnitas**. A forma geral desse tipo de equação é **ax + by = c**, onde a, b e c são números reais, com a e b não podendo ser ambos iguais a zero ao mesmo tempo. As letras x e y são as incógnitas — as variáveis cujos valores queremos encontrar. Para a equação 3x + 2y = 60, os coeficientes são a = 3, b = 2 e c = 60. O traço que define o caráter "linear" é o fato de x e y aparecerem apenas com expoente 1: não há x², y², raiz de x nem produto xy. Qualquer expressão onde essas condições fossem violadas deixaria de ser uma equação linear. **O que diferencia essa equação daquelas com uma única incógnita?** Nas equações como 2x + 3 = 7, existe apenas um valor de x que satisfaz a igualdade. Na equação 3x + 2y = 60, há dois valores a determinar em conjunto. Vender 10 coxinhas e 15 esfirras totaliza R$ 60,00; mas 20 coxinhas e 0 esfirras também chegam ao mesmo valor, assim como 0 coxinhas e 30 esfirras. Cada uma dessas combinações é uma **solução** da equação, e existem infinitas possibilidades porque, para qualquer valor escolhido de x, é possível calcular o valor correspondente de y que satisfaz a igualdade. **Imagens:** - PLOT: Dois diagramas lado a lado: (1) reta numérica com a única solução x=2 da equação 2x+3=7 destacada com ponto vermelho e rótulo "solução única"; (2) lista de três pares (10,15), (20,0), (0,30) com seta indicando "infinitas soluções" para a equação 3x+2y=60 — legenda clara abaixo de cada diagrama | comparacao-1-vs-2-incognitas.png | 16:9 [chapter-callout-label: Sabia?] **Sabia?** A palavra "linear" vem do latim *linearis*, que significa "relativo a linha". Uma equação linear recebe esse nome porque, quando suas soluções são representadas no plano cartesiano, formam uma linha reta. Nos próximos capítulos você vai explorar exatamente essa conexão! ## Reconhecendo equações lineares Nem toda expressão algébrica com duas letras é uma equação linear de 1º grau. Para identificar se uma equação pertence à forma ax + by = c, basta verificar três condições: as incógnitas x e y devem aparecer apenas com expoente 1; os coeficientes a e b devem ser números reais com pelo menos um deles diferente de zero; e o valor c no lado direito pode ser qualquer número real, inclusive zero ou negativo. Assim, **5x − y = 0** é linear (a = 5, b = −1, c = 0), assim como **−x + 4y = 9** (a = −1, b = 4, c = 9). Já **x² + y = 4** não é linear porque x aparece com expoente 2, e **2x + 3y² = 1** também não é linear porque y aparece elevado ao quadrado. Uma equação do tipo **xy = 6** também escapa da forma geral, pois x e y estão multiplicados entre si — o que gera um grau conjunto de 2, não 1. **Imagens:** - PLOT: Tabela visual com duas colunas: "Equação linear (ax + by = c)" com exemplos 3x + 2y = 7, 5x − y = 0, −x + 4y = 9 marcados com ✓ verde; e "Não é equação linear" com exemplos x² + y = 4, 2x + 3y² = 1, xy = 6 marcados com ✗ vermelho | classificacao-equacoes-lineares.png | 4:3 [INTERACTIVE: A1 | mapa mental | Acesse o mapa mental interativo sobre equação linear com duas incógnitas na plataforma Teachy e consolide os conceitos desta seção] Agora que você conhece as características que definem uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas, é hora de colocar esse conhecimento em prática. Os exercícios a seguir partem do reconhecimento da forma geral e avançam até a verificação de soluções. ## Pratique [Section 5] [P1] (DOK 1) Uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas tem a forma geral ax + by = c, em que a, b e c são números reais e a e b não são ambos iguais a zero. Identifique quais das expressões abaixo correspondem a essa forma geral: (A) 3x + 2y = 7 (B) x² + y = 4 (C) 5x − y = 0 (D) 2x + 3y² = 1 (E) −x + 4y = 9 Liste apenas as letras das equações que se enquadram na forma geral ax + by = c. [chapter-callout-label: Zoom] **Atenção ao substituir pares!** Em um par ordenado (x, y), o **primeiro número** sempre corresponde a x e o **segundo** a y. Trocar essa ordem é um erro frequente: substituir o valor de y no lugar de x muda completamente o resultado da verificação. Antes de calcular, confirme qual valor vai para qual incógnita. [P2] (DOK 2) Considere a equação 2x − y = 4. a) Verifique se o par (3, 2) é uma solução dessa equação, substituindo os valores nas incógnitas. b) Verifique se o par (0, −4) também é uma solução. *Dica: Para verificar se um par (x, y) satisfaz uma equação, substitua o primeiro valor no lugar de x e o segundo no lugar de y — depois confira se a igualdade é válida.* [P3] (DOK 2) A equação x + 2y = 6 tem infinitas soluções. Complete a tabela abaixo, encontrando o valor de y para cada valor de x indicado: | x | y | |----|----| | 0 | | | 2 | | | 6 | | Em seguida, observe os pares encontrados: eles parecem estar dispostos de forma aleatória no plano, ou você percebe algum padrão na relação entre x e y? *Dica: Organize os pares encontrados como pontos e pense em como eles se distribuem — estão espalhados sem ordem ou há uma regularidade visível?* --- [Section 6] ## Exercícios [I1] (DOK 3) *Em aplicativos de mapeamento urbano, rotas e trajetórias são representadas por meio de coordenadas no plano. Uma linha de ônibus percorre uma trajetória reta que passa pelos pontos (0, 3) e (2, 7) do plano cartesiano usado pelo sistema de GPS da cidade. O engenheiro responsável precisa descrever essa trajetória por meio de uma equação para programar o sistema de navegação.* Qual das equações abaixo representa corretamente uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas que é satisfeita pelos dois pontos dados? (A) x² + y = 3 (B) 2x − y = −3 (C) x + 2y = 6 (D) 3x + y = 7 (E) x − y = 4 [I2] (DOK 2) *Uma estudante está desenhando no plano cartesiano os pares (x, y) que satisfazem a equação 3x + y = 6. Ela já marcou os pontos (0, 6) e (2, 0) e percebeu que eles parecem estar alinhados.* Encontre mais dois pares de valores (x, y) que satisfaçam essa equação e explique, com base no conjunto de pontos obtidos, qual figura geométrica esses pares determinam no plano cartesiano. [LINES: 5] [I3] (DOK 3) *Uma equação está escrita em um cartão: ax + by = c. A professora afirma que, independentemente dos valores escolhidos para a e b (desde que não sejam ambos zero), essa equação sempre representa uma reta no plano cartesiano.* a) Dê um exemplo concreto de uma equação nessa forma e identifique os valores de a, b e c. b) Explique por que uma equação linear de 1º grau com duas incógnitas não pode ter apenas uma solução isolada, mas sim infinitas soluções. [LINES: 8] [INTERACTIVE: D | responda na plataforma | Escaneie para responder os exercícios desta seção na Teachy e receber correção automática com feedback personalizado]