Equação polinomial de 2º grau do tipo ax² = b

# Situações-Problema com ax² = b [Sequence 6] Eu, Harry Potter, aprendi em Hogwarts que dominar um feitiço significa saber usá-lo nas situações que realmente importam — não apenas repeti-lo em sala de treino. Agora chegou o seu momento: você vai resolver problemas contextualizados que exigem aplicar tudo o que estudamos sobre equações do tipo ax² = b. Em resumo, cada exercício a seguir é uma nova situação real esperando que você decifre a equação escondida nela. **Images:** - [PLOT] Gráfico da parábola y = 3x², com eixos cartesianos, vértice na origem e abertura para cima, com uma linha horizontal tracejada y = 48 interceptando a parábola em dois pontos simétricos destacados (marcados com pontos preenchidos). Eixo x de −6 a 6, eixo y de 0 a 60, com rótulos nos eixos e grade de referência. | parabola-y3x2-y48.png | 4:3 ## Exercícios Você consegue enxergar uma equação ax² = b escondida em cada situação a seguir? [I1] Uma equação do tipo ax² = b tem solução real quando o quociente b/a é não negativo. Analise as equações abaixo e identifique aquela que **não possui** solução real. (A) 3x² = 27 (B) x² = 0 (C) 2x² = 18 (D) 5x² = −20 (E) 4x² = 100 **Gabarito:** D --- [I2] Resolva a equação 9x² = 225. *Apresente o cálculo passo a passo e indique o conjunto-solução.* [LINES: 5] --- [I3] Considere a equação 4x² = 36. a) Calcule o valor de x² isolando-o no lado esquerdo da equação. b) Determine as soluções da equação e escreva o conjunto-solução. [LINES: 6] --- [I4] Qual é o conjunto-solução da equação 16x² = 0? (A) {−4, 4} (B) {4} (C) {0} (D) {−16, 16} (E) Não existe solução real. **Gabarito:** C --- [I5] A equação x² = k, em que k é um número real, pode ter 0, 1 ou 2 soluções reais. Para cada situação descrita abaixo, determine o valor (ou valores) de x e justifique a quantidade de soluções encontradas. a) k = 49 b) k = 0 c) k = −9 [LINES: 8] --- [I6-R] Uma horta comunitária tem formato quadrado e área de 196 m². A coordenadora da horta quer saber o comprimento do lado para planejar a irrigação. a) Escreva a equação do tipo ax² = b que representa a situação. b) Resolva a equação e determine o lado da horta. c) Explique por que apenas a solução positiva tem significado neste contexto. [LINES: 6] --- [I7] Uma fábrica produz chapas quadradas de metal com área igual a 225 cm². O controle de qualidade aceita chapas cuja área varie em até 16 cm² para mais ou para menos. Representando o lado da chapa por x (em cm): a) Escreva a equação que representa a situação em que a chapa tem exatamente 225 cm² de área. b) Resolva a equação e determine o lado da chapa. c) Determine os valores extremos aceitáveis para o lado x, considerando a variação permitida na área. [LINES: 8] --- [I8] O gráfico acima representa a parábola y = 3x², desenhada em um plano cartesiano, com uma reta horizontal y = 48 interceptando a curva. Observando o gráfico, um estudante quer encontrar os valores de x para os quais y = 48. (A) x = ±4 (B) x = ±8 (C) x = ±16 (D) x = ±√16 (E) x = ±√48 **Gabarito:** A --- [I9] Em uma competição de salto ornamental, a trajetória vertical da atleta pode ser aproximada pela equação h = 9 − t², em que h é a altura (em metros) e t é o tempo (em segundos) após o salto. A atleta entra na água quando h = 0. a) Escreva a equação resultante quando h = 0. b) Resolva a equação do tipo ax² = b obtida e interprete o resultado no contexto do problema. *Dica: considere apenas o valor positivo de t, pois representa o tempo após o salto.* [LINES: 6] --- [I10] Uma placa solar quadrada precisa ter área de 1,44 m² para gerar a potência elétrica necessária em uma residência. O instalador utiliza a equação l² = 1,44 para calcular o comprimento do lado l da placa. a) Resolva a equação e determine o valor de l em metros. b) Explique por que apenas a solução positiva tem significado nesse contexto. [LINES: 6] --- [I11] *Um pesquisador estuda o movimento de uma pedra lançada verticalmente para cima de uma torre de 80 m de altura. A posição da pedra, medida a partir do solo, é dada por h(t) = 80 − 5t², em que t é o tempo em segundos após o lançamento.* Com base nessa situação, qual é o tempo, em segundos, em que a pedra atinge o solo (h = 0)? (A) t = 4 s (B) t = 16 s (C) t = √16 s = 4 s — apenas a resposta positiva (D) t = ±4 s (E) t = 8 s **Gabarito:** C --- [I12] *Uma empresa de embalagens quer fabricar caixas cúbicas com volume de 512 cm³. O engenheiro responsável sabe que, para um cubo de aresta a, o volume é dado por V = a³. Para simplificar o processo de cálculo, ele modela a situação em etapas: primeiro determina a² e depois extrai a raiz quadrada.* Para encontrar a aresta a da caixa, o engenheiro resolveu a equação a² = 64 como etapa intermediária. Qual das alternativas apresenta a sequência correta de raciocínio utilizada? (A) O engenheiro calculou a³ = 512, depois dividiu por a para obter a² = 512/a e concluiu que a = 8 cm. (B) O engenheiro calculou a³ = 512, tomou a raiz cúbica e obteve a = 8 cm; a equação a² = 64 é uma etapa intermediária, pois 8² = 64. (C) O engenheiro resolveu diretamente a² = 64, encontrando a = ±8, e usou apenas a solução positiva a = 8 cm. (D) O engenheiro concluiu que a equação a² = 64 não tem relação com o volume 512 cm³. (E) O engenheiro calculou a = 512 ÷ 64 = 8 cm sem necessidade de equações de 2º grau. **Gabarito:** B --- [I13] *Em uma cidade, dois terrenos quadrados vizinhos têm áreas tais que a área do terreno maior é o quádruplo da área do terreno menor. Sabe-se que o lado do terreno maior mede 20 m.* a) Seja x o lado (em metros) do terreno menor. Escreva a equação do tipo ax² = b que relaciona as áreas dos dois terrenos. b) Resolva a equação e determine o lado do terreno menor. c) Um arquiteto afirma que, se a área do terreno maior fosse triplicada em vez de quadruplicada, o lado do terreno menor seria irracional. Determine o valor exato do lado nesse caso e justifique se a afirmação é verdadeira ou falsa. [LINES: 10] --- [I14-R] Uma quadra esportiva quadrada tem área de 400 m². A prefeitura planeja ampliar a quadra de modo que a nova área seja 2,25 vezes a área original. a) Escreva a equação do tipo ax² = b que representa a nova área, sendo x o lado da nova quadra em metros. b) Resolva a equação e determine o lado da nova quadra. c) Qual é a diferença entre o lado da nova quadra e o lado da quadra original? [LINES: 8] --- [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na Teachy e receber correção automática com feedback imediato]