Exercícios de Contagem: Princípio Multiplicativo

# Exercícios [Sequence 6] ## Exercícios **1.** Considere o experimento de lançar uma moeda três vezes consecutivas, registrando o resultado de cada lançamento. Quantas sequências diferentes de resultados são possíveis? A) 3 B) 6 C) 9 D) 8 **Gabarito:** D **Resolução:** A questão verifica a aplicação do Princípio Multiplicativo a três etapas independentes, cada uma com 2 resultados possíveis: 2 × 2 × 2 = 8 sequências. A alternativa D é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 3 corresponde ao número de lançamentos, não ao de sequências. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 6 = 2 × 3 combina o número de lançamentos com o de faces sem fundamentação no princípio. A alternativa C não satisfaz o comando, pois 9 = 3² não tem correspondência com a estrutura do problema. --- **2.** Analise a seguinte situação de escolha em duas etapas sucessivas: alunos do 8º ano montam seu horário de atividades extracurriculares escolhendo **um** esporte entre natação, vôlei e basquete, **e** um idioma entre inglês e espanhol. Quantas combinações distintas de horário um aluno pode montar? A) 5 B) 8 C) 6 D) 9 **Gabarito:** C **Resolução:** A questão verifica a identificação de etapas independentes e a aplicação do Princípio Multiplicativo: 3 × 2 = 6 combinações. A alternativa C é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 5 = 3 + 2 resulta da soma das opções de cada etapa, operação que não produz o total de pares ordenados possíveis. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 8 não decorre das quantidades apresentadas no enunciado. A alternativa D não satisfaz o comando, pois 9 = 3² não tem correspondência com os dados fornecidos. --- **3.** Observe que uma plataforma de streaming permite personalizar perfis com escolhas em três categorias independentes: **um** avatar entre 6 disponíveis, **um** tema de interface entre 4 disponíveis e **um** idioma de exibição entre 3 disponíveis. Quantas configurações de perfil distintas são possíveis? A) 13 B) 48 C) 96 D) 72 **Gabarito:** D **Resolução:** A questão verifica a extensão do Princípio Multiplicativo a três etapas: 6 × 4 × 3 = 72 configurações. A alternativa D é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 13 = 6 + 4 + 3 resulta da soma das opções, que conta apenas o total de alternativas por categoria, não o total de configurações distintas. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 48 = 6 × 4 × 2 omite uma opção de idioma. A alternativa C não satisfaz o comando, pois 96 = 6 × 4 × 4 duplica as opções de idioma sem base no enunciado. --- **4.** Uma agência de turismo monta pacotes de viagem nacionais. O cliente escolhe **um** destino entre 5 cidades, **um** meio de transporte entre avião, ônibus e trem, **uma** hospedagem entre hotel e pousada, e **um** pacote de seguro entre básico e completo. **a)** Determine o número total de pacotes distintos que a agência pode oferecer. **b)** Justifique, com base no Princípio Multiplicativo, por que as etapas de escolha devem ser multiplicadas e não somadas. **Gabarito:** **a)** 5 × 3 × 2 × 2 = 60 pacotes distintos. **b)** As quatro etapas são realizadas conjuntamente: o cliente escolhe destino **e** transporte **e** hospedagem **e** seguro. Para cada um dos 5 destinos, existem 3 opções de transporte; para cada combinação destino-transporte, há 2 opções de hospedagem; para cada combinação resultante, há 2 opções de seguro. A soma 5 + 3 + 2 + 2 = 12 contabiliza apenas o número de alternativas por categoria, não o total de pacotes completos formados pela seleção simultânea de uma opção em cada etapa. **Rubrica:** - Item a) com cálculo correto (5 × 3 × 2 × 2 = 60): 1 ponto - Item b) com identificação das etapas como simultâneas e independentes: 1 ponto - Item b) com justificativa formal da distinção entre soma e produto: 1 ponto --- **5.** Considere senhas de 4 caracteres em que as duas primeiras posições são letras maiúsculas do alfabeto (26 letras) e as duas últimas são dígitos de 0 a 9, com repetição permitida em todas as posições. Quantas senhas distintas podem ser formadas? A) 72 B) 6.760 C) 676.000 D) 67.600 **Gabarito:** D **Resolução:** A questão verifica a aplicação do Princípio Multiplicativo a 4 posições independentes: 26 × 26 × 10 × 10 = 67.600 senhas. A alternativa D é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 72 = 26 + 26 + 10 + 10 resulta da soma das opções por posição, não do produto. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 6.760 = 26 × 26 × 10 considera apenas 3 posições. A alternativa C não satisfaz o comando, pois 676.000 = 26 × 26 × 10 × 10 × 10 corresponde a 5 posições, não a 4. --- **6.** Em um congresso científico, um pesquisador deve apresentar **um** trabalho na sessão da manhã (4 salas disponíveis) e **um** trabalho na sessão da tarde (3 salas disponíveis), em salas escolhidas de forma independente. Quantas combinações de alocação de sala (manhã, tarde) o pesquisador pode ter por dia? A) 7 B) 12 C) 16 D) 24 **Gabarito:** B **Resolução:** A questão verifica a aplicação do Princípio Multiplicativo a duas etapas independentes: 4 × 3 = 12 combinações. A alternativa B é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 7 = 4 + 3 resulta da soma das salas disponíveis, não do total de pares ordenados. A alternativa C não satisfaz o comando, pois 16 = 4² não decorre da estrutura apresentada. A alternativa D não satisfaz o comando, pois 24 = 4 × 3 × 2 acrescenta uma etapa inexistente. --- **7.** Se o congresso do item anterior durar 3 dias, com a mesma estrutura de salas em cada sessão e escolhas independentes entre dias, determine de quantas maneiras distintas o pesquisador pode distribuir suas 6 apresentações (uma por sessão por dia) ao longo dos 3 dias. Apresente o cálculo com justificativa formal. **Gabarito:** Há 6 sessões independentes ao longo de 3 dias (manhã e tarde de cada dia). Aplicando o Princípio Multiplicativo a todas as etapas: 4 × 3 × 4 × 3 × 4 × 3 = (4 × 3)³ = 12³ = 1.728 combinações distintas. O produto se justifica porque a escolha de sala em cada sessão não afeta as opções das demais sessões. **Rubrica:** - Identificação correta das 6 etapas independentes: 1 ponto - Cálculo correto com forma condensada (12³ = 1.728): 1 ponto - Justificativa formal da independência entre sessões: 1 ponto --- **8.** Uma loja de uniformes esportivos oferece camisas em 5 cores, shorts em 4 cores e meias em 3 cores. Um cliente deseja comprar um conjunto completo (camisa, shorts e meias) sem que nenhuma peça repita a cor de outra. Determine quantos conjuntos distintos podem ser formados, considerando que a restrição de não repetição reduz as opções a cada etapa. A) 12 B) 24 C) 60 D) 100 **Gabarito:** C **Resolução:** A questão verifica a aplicação do Princípio Multiplicativo com restrição de não repetição. Camisa: 5 opções. Short: 4 opções (exclui a cor da camisa). Meias: 3 opções (excluem as cores da camisa e do short). Total: 5 × 4 × 3 = 60 conjuntos. A alternativa C é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 12 = 3 × 4 omite a etapa da camisa. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 24 = 2 × 3 × 4 reduz indevidamente as opções da camisa para 2. A alternativa D não satisfaz o comando, pois 100 = 5 × 4 × 5 não aplica a restrição de não repetição às meias. --- **9.** Em uma biblioteca escolar, o clube de leitura organiza um evento e deve escolher o responsável pela apresentação de uma das seguintes formas mutuamente exclusivas: **um** grupo para apresentar o livro do mês, entre os 3 grupos de ficção, os 2 grupos de poesia e os 4 grupos de não ficção cadastrados; **ou** um conferencista externo entre os 5 disponíveis. Um estudante afirmou que o número de possibilidades é 3 × 2 × 4 × 5 = 120. Analise se o raciocínio está correto e apresente o cálculo adequado. **Gabarito:** O raciocínio está incorreto. O enunciado apresenta duas alternativas mutuamente exclusivas: escolher um grupo **ou** um conferencista externo, o que caracteriza o Princípio Aditivo. O número de grupos disponíveis é 3 + 2 + 4 = 9 (as três categorias de grupos são alternativas de uma mesma escolha). O total de possibilidades é 9 + 5 = 14. Multiplicar 3 × 2 × 4 × 5 trataria as escolhas como sucessivas e independentes, o que contradiz a estrutura do enunciado. **Rubrica:** - Identificação correta do erro (Princípio Aditivo, não Multiplicativo): 1 ponto - Cálculo correto dos grupos (3 + 2 + 4 = 9): 1 ponto - Resultado final correto (9 + 5 = 14) com justificativa: 1 ponto --- **10.** Considere um sistema de identificação de produtos que usa códigos formados por **2 letras maiúsculas** seguidas de **3 dígitos** (0 a 9), com repetição permitida em todas as posições. Quantos códigos distintos esse sistema pode gerar? A) 67.600 B) 6.760.000 C) 17.576.000 D) 676.000 **Gabarito:** D **Resolução:** A questão verifica a aplicação do Princípio Multiplicativo a 5 posições independentes: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 = 26² × 10³ = 676.000 códigos. A alternativa D é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 67.600 = 26² × 10² utiliza apenas 2 dígitos. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 6.760.000 = 26² × 10⁴ acrescenta um quarto dígito. A alternativa C não satisfaz o comando, pois 17.576.000 = 26³ × 10³ utiliza 3 letras em vez de 2. --- **11.** Uma escola oferece atividades no contraturno. O aluno deve selecionar obrigatoriamente uma atividade esportiva e uma atividade cultural. **Esportes:** natação, judô, handebol, atletismo (4 opções). **Atividades culturais:** teatro, dança, música, fotografia, xadrez (5 opções). **a)** De quantas maneiras distintas um aluno pode montar sua grade de contraturno? **b)** Se a escola acrescentar 2 modalidades esportivas, qual é a variação percentual no número total de combinações em relação ao item (a)? **Gabarito:** **a)** 4 × 5 = 20 maneiras distintas. **b)** Com 6 esportes: 6 × 5 = 30 maneiras. Variação percentual: (30 − 20) / 20 × 100 = 50%. **Rubrica:** - Item a) com cálculo correto (4 × 5 = 20): 1 ponto - Item b) com cálculo correto (6 × 5 = 30): 1 ponto - Variação percentual correta (50%): 1 ponto --- **12.** Em um campeonato escolar de programação, cada equipe deve definir sua solução tecnológica escolhendo **uma** linguagem de programação entre Python, Java e C++, **um** banco de dados entre MySQL, PostgreSQL e MongoDB, e **uma** interface entre web e mobile. Quantas composições tecnológicas distintas uma equipe pode adotar? A) 8 B) 12 C) 24 D) 18 **Gabarito:** D **Resolução:** A questão verifica a aplicação do Princípio Multiplicativo a três etapas independentes: 3 × 3 × 2 = 18 composições. A alternativa D é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 8 = 3 + 3 + 2 resulta da soma das opções por etapa. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 12 = 3 × 2 × 2 reduz as opções de banco de dados para 2. A alternativa C não satisfaz o comando, pois 24 = 3 × 4 × 2 amplia as opções de banco de dados para 4. --- **13.** Uma nutricionista elabora um cardápio semanal para seus pacientes. Em cada dia da semana (segunda a sexta, 5 dias), o paciente escolhe **um** prato entre 3 opções de almoço e **um** entre 2 opções de jantar, com escolhas independentes entre refeições e entre dias. De quantas maneiras distintas um paciente pode montar seu cardápio para toda a semana? A) 25 B) 243 C) 1.024 D) 7.776 **Gabarito:** D **Resolução:** A questão verifica a extensão do Princípio Multiplicativo a múltiplas etapas diárias e semanais. Para cada dia, há 3 × 2 = 6 combinações de refeições. Como os 5 dias são independentes entre si: 6⁵ = 7.776 maneiras. A alternativa D é a correta. A alternativa A não satisfaz o comando, pois 25 = 5² ignora as opções de refeição. A alternativa B não satisfaz o comando, pois 243 = 3⁵ considera apenas o almoço. A alternativa C não satisfaz o comando, pois 1.024 = 2¹⁰ considera apenas o jantar ao longo dos dias. --- [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder estes exercícios na plataforma Teachy e receber correção automática] [chapter-section: Desafio 🏁] ## Desafio 🏁 **OBMEP (adaptada)** Uma rede de restaurantes utiliza um sistema de pedidos em que cada mesa recebe um código de identificação composto por **1 letra maiúscula** (qualquer uma das 26 letras do alfabeto) seguida de **2 dígitos** (0 a 9), com repetição permitida em todas as posições. **a)** Quantos códigos distintos o sistema pode gerar? **b)** A rede decide ampliar o sistema, acrescentando uma segunda letra antes da letra existente (ou seja, o código passa a ter 2 letras seguidas de 2 dígitos, com as mesmas regras de repetição). Quantos códigos distintos passam a ser possíveis? **c)** Calcule a variação percentual entre os totais dos itens (a) e (b) e interprete o resultado. **Gabarito:** **a)** 26 × 10 × 10 = 26 × 100 = 2.600 códigos. **b)** 26 × 26 × 10 × 10 = 676 × 100 = 67.600 códigos. **c)** Variação percentual = (67.600 − 2.600) / 2.600 × 100 = 65.000 / 2.600 × 100 = 2.500%. A inclusão de uma segunda letra multiplica o total por 26, pois cada código anterior gera 26 novos códigos — o que evidencia como o Princípio Multiplicativo amplifica exponencialmente a capacidade do sistema. --- **Images:** - [PLOT] Tabela de posições para os itens (a) e (b) do Desafio: duas linhas (uma por configuração), colunas correspondentes a cada posição do código (letra 1, letra 2, dígito 1, dígito 2), com o número de opções por posição e o produto total à direita | tabela-posicoes-desafio.png | 4:3