Exercícios — Princípio Multiplicativo da Contagem

# Exercícios [Sequence 6] Nos capítulos anteriores, você estudou os princípios que organizam a contagem de possibilidades. Agora é momento de aplicar esses conhecimentos em situações variadas. Em cada questão, identifique com atenção se as escolhas são feitas ao mesmo tempo (combinando) ou separadamente (excluindo uma à outra), pois essa distinção define qual princípio usar. **1.** [I1] Uma loja de uniforme esportivo oferece camisas em 4 cores diferentes e shorts em 3 cores diferentes. Cada conjunto é formado por uma camisa e um short. Quantos conjuntos distintos podem ser montados a partir dessas opções? **Images:** - [PLOT] Tabela de dupla entrada com 4 linhas (camisas: azul, vermelho, verde, amarelo) e 3 colunas (shorts: branco, preto, cinza), com 12 células numeradas de 1 a 12 ilustrando as combinações possíveis | tabela-combinacoes-uniforme.png | 4:3 **Resposta esperada:** Cada uma das 4 camisas pode ser combinada com qualquer um dos 3 shorts, formando pares independentes. Como as escolhas são sucessivas e independentes, aplica-se o princípio multiplicativo: 4 × 3 = **12 conjuntos distintos**. --- **2.** [I2] O cardápio de uma lanchonete é composto por 5 tipos de sanduíches, 4 tipos de refrigerantes e 3 tipos de sobremesas. A quantidade de lanches diferentes formados por 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sobremesa que podem ser oferecidos por essa lanchonete é igual a **Images:** - https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images/imported/1c7a3fc1d67d107e2d7422aacee3d467327a492d310ce2741917f4921185b8d3.jpg — Cardápio em quadro-negro de restaurante exibindo diversas opções de pratos | Attribution: Fonte: Philh-591 - Wikimedia Commons - A) 60 - B) 35 - C) 23 - D) 12 **Resposta:** A **Resolução:** As três escolhas — sanduíche, refrigerante e sobremesa — são independentes entre si: escolher um tipo de sanduíche não limita as opções de refrigerante nem de sobremesa. Total = 5 × 4 × 3 = **60 combinações diferentes**. (Fonte: Encceja) --- **3.** [P1] Uma montadora de carros oferece a seus clientes as seguintes opções na montagem de um carro: 2 tipos de motores (1.8 ou 2.0), 2 tipos de câmbios (manual ou automático), 6 cores (branco, preto, vermelho, azul, cinza ou prata) e 3 tipos de acabamento (simples, intermediário ou sofisticado). De quantas maneiras distintas pode-se montar esse carro? - A) 4 - B) 72 - C) 13 - D) 24 - E) 36 **Resposta:** B **Resolução:** As escolhas de motor, câmbio, cor e acabamento são independentes entre si. O número de possibilidades é encontrado multiplicando as quantidades de opções em cada etapa: 2 × 2 × 6 × 3 = **72 maneiras distintas**. (Fonte: UEGO — Universidade Estadual de Goiás) --- **4.** [P2] Em uma escola, cada estudante monta seu kit de material escolar obrigatório escolhendo **um caderno** (entre 3 modelos disponíveis), **um estojo** (entre 3 modelos) **e uma mochila** (entre 2 tamanhos). Além disso, como acessório opcional, o estudante pode escolher **uma régua** ou **um compasso** — ou pode não levar nenhum acessório opcional. **(a)** Quantos kits diferentes podem ser montados considerando apenas os itens obrigatórios? **(b)** Quantos kits diferentes podem ser montados se o estudante também considerar as opções de acessório (régua, compasso ou nenhum acessório)? **(c)** Neste problema, em qual(is) parte(s) você usou o princípio multiplicativo e em qual(is) usou o princípio aditivo? Explique com suas palavras a diferença entre os dois princípios. **Resposta esperada:** **(a)** 3 × 3 × 2 = **18 kits diferentes** (princípio multiplicativo: escolhas sucessivas e independentes). **(b)** Para os acessórios, há 3 possibilidades: régua, compasso ou nenhum. Como a escolha do acessório é independente das anteriores, multiplica-se: 18 × 3 = **54 kits diferentes no total**. **(c)** O princípio multiplicativo foi usado nas partes (a) e (b), pois as escolhas são feitas em etapas sucessivas e independentes. O princípio aditivo se aplica quando as situações se excluem mutuamente — nesse caso, somamos em vez de multiplicar. --- **5.** [P3] Yasmin quer criar uma senha para proteger seu diário digital. A senha deve ter exatamente **2 letras seguidas de 2 algarismos** (de 0 a 9). O aplicativo permite repetição tanto de letras quanto de algarismos, e o alfabeto utilizado tem 26 letras. **(a)** Quantas senhas diferentes Yasmin pode criar com essa estrutura? **(b)** Se Yasmin decidir que nenhuma letra pode se repetir na mesma senha, quantas senhas serão possíveis? **(c)** Com qual das duas regras a senha é mais segura? Por quê? **Resposta esperada:** **(a)** Com repetição permitida: 26 × 26 × 10 × 10 = **67.600 senhas possíveis**. **(b)** Sem repetição de letras: 26 × 25 × 10 × 10 = **65.000 senhas possíveis**. **(c)** A senha com repetição permitida (67.600 possibilidades) é mais segura, pois oferece um número maior de combinações possíveis, tornando mais difícil descobrir a senha por tentativa. --- **6.** [D1] Em um festival de cultura juvenil, os organizadores precisam definir um código de identificação para cada estande. O código é formado por **1 letra** (entre A, B, C, D e E) seguida de **1 algarismo par** (0, 2, 4, 6 ou 8). **(a)** Quantos códigos diferentes podem ser criados? **(b)** Um organizador sugeriu ampliar o código para incluir também estandes com **1 letra** seguida de **1 algarismo ímpar** (1, 3, 5, 7 ou 9). Considerando os dois tipos de código (letra + par *ou* letra + ímpar), quantos códigos existirão no total? Qual princípio de contagem você utilizou para chegar a essa resposta? **Resposta esperada:** **(a)** 5 letras × 5 algarismos pares = **25 códigos** (princípio multiplicativo). **(b)** Os dois tipos de código são mutuamente exclusivos (um código não pode terminar em par e ímpar ao mesmo tempo). Portanto, usamos o **princípio aditivo**: 25 + 25 = **50 códigos no total**. Quando as situações são excludentes entre si, somamos as possibilidades em vez de multiplicar. --- [Sequence 7] **7.** [R1] Pense em uma decisão que você precisa tomar regularmente no seu cotidiano — pode ser a escolha do que vestir, do que comer no café da manhã, do trajeto que você faz para a escola, ou qualquer outra situação com etapas de escolha. Se precisar de inspiração, pense em Beatriz, que toda manhã escolhe entre 3 opções de café, 2 tipos de pão e 4 recheios diferentes. **(a)** Descreva essa situação e identifique as etapas de escolha envolvidas. **(b)** Calcule o número total de possibilidades combinando essas etapas. **(c)** Você se surpreendeu com o resultado? O que esse cálculo revela sobre a quantidade de escolhas que fazemos (ou poderíamos fazer) sem perceber? **Orientação:** Não existe uma resposta única correta para os itens (a) e (b) — a situação escolhida e o cálculo dependem do que você descrever. O importante é identificar corretamente se as escolhas são independentes e aplicar o princípio adequado. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder os exercícios desta seção na plataforma Teachy e receber correção automática com feedback personalizado]