Fatores Multiplicativos

# Fatores Multiplicativos [Sequence 4] Nas aulas anteriores, você aprendeu o que é uma porcentagem e como calcular aumentos e descontos separando a conta em duas etapas: calcular a parte e depois somar ou subtrair ao valor original. Esse método funciona, mas existe uma forma ainda mais direta de chegar ao resultado — e é exatamente ela que vamos explorar agora. Pense na seguinte situação: uma loja de roupas anuncia 25% de desconto em toda a coleção. Bianca encontra uma jaqueta que custa R$ 160,00 e quer saber, rapidamente, quanto vai pagar. O que acontece com o preço original quando se retira 25% dele? Se a jaqueta perde 25%, sobra 75% do valor. E 75% em decimal é 0,75. Então, o preço final é simplesmente: 160 × 0,75 = R$ 120,00. Uma única multiplicação resolve tudo.[[2]] Esse número — 0,75 — é o **fator multiplicativo** do desconto de 25%. Ele representa, de forma compacta, a operação inteira: quanto do valor original sobra depois da variação percentual.[[2]][[3]] **Images:** - [https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/c0db62f7-53e5-431d-aeb2-80d6db670a40/imported/v2_0_16.jpg](https://storage.googleapis.com/teachy-classroom-contents/images-v2/c0db62f7-53e5-431d-aeb2-80d6db670a40/imported/v2_0_16.jpg) — Vitrine de loja com manequins exibindo cartazes de desconto em porcentagem | Attribution: Fonte: Manually imported ## Como encontrar o fator multiplicativo O raciocínio é direto: uma porcentagem de variação sempre parte de 100% — o valor completo. Qualquer aumento ou desconto modifica esse total.[[1]] Para um **aumento de p%**, o valor cresce para (100 + p)% do original. Em decimal, o fator é: **fator = 1 + p/100** Exemplos: aumento de 10% → fator 1,10; aumento de 30% → fator 1,30; aumento de 5% → fator 1,05. Para um **desconto de p%**, o valor cai para (100 − p)% do original. Em decimal, o fator é: **fator = 1 − p/100** Exemplos: desconto de 10% → fator 0,90; desconto de 25% → fator 0,75; desconto de 5% → fator 0,95. E para calcular o valor resultante, basta uma multiplicação: **Valor resultante = Valor original × Fator multiplicativo**[[2]] O que você percebe sobre o fator quando a variação é um aumento? E quando é um desconto? Repare que fatores maiores que 1 sempre indicam crescimento, e fatores menores que 1 indicam redução.[[3]] **Images:** - PLOT: Tabela visual com duas colunas ("Aumento" e "Desconto"), listando os percentuais 5%, 10%, 15%, 20%, 25%, 30% e seus respectivos fatores multiplicativos (1,05 / 0,95; 1,10 / 0,90; 1,15 / 0,85; 1,20 / 0,80; 1,25 / 0,75; 1,30 / 0,70). Cores: azul para aumentos, laranja para descontos. Título: "Fatores Multiplicativos". Formato limpo, tabela estilizada. | tabela-fatores-multiplicativos.png | 3:4 ## Por que um único passo? Você pode estar se perguntando: por que isso é melhor do que calcular a porcentagem e depois somar ou subtrair? O método tradicional usa duas operações; o fator multiplicativo usa uma só — diferença que importa quando os cálculos se encadeiam ou quando se usa uma planilha como Google Sheets ou Excel, que multiplica cada valor pelo fator diretamente, sem calcular a parcela separada.[[6]] Ao usar o fator, você trabalha com a estrutura multiplicativa da porcentagem: está dizendo "esse valor *é* 75% do original", não "calculei 25% e subtraí".[[1]][[4]] [chapter-section: Você acredita?] Um produto teve aumento de 50% e depois recebeu um desconto de 50%. Parece que voltou ao preço original, certo? Vamos investigar. Se o preço inicial é R$ 100,00, após o aumento ele fica 100 × 1,50 = R$ 150,00. Depois, com o desconto de 50%: 150 × 0,50 = R$ 75,00. O produto termina valendo menos do que no início! Os fatores multiplicativos 1,50 e 0,50 não se anulam porque são aplicados a bases diferentes. O que vocês concluem sobre somar percentagens diretamente? [INTERACTIVE: a1-mm | Acesse o mapa mental interativo sobre fatores multiplicativos na plataforma Teachy e explore as conexões entre porcentagem, decimal e fator] --- [Sequence 5] ## Na prática **1.** Uma camiseta custa R$ 120,00. A loja oferece um desconto de 25%. Qual é o fator multiplicativo que representa esse desconto e qual é o preço final que o cliente paga? **Resposta esperada:** O fator multiplicativo é 0,75 (pois 1 − 0,25 = 0,75). Preço final: 120 × 0,75 = R$ 90,00. --- **2.** [I1] O gerente de uma loja de móveis resolveu fazer uma liquidação de seus produtos, então multiplicou o preço de todos os produtos por 0,68. Isso equivale a dizer que o gerente ofereceu um desconto de A) 32%. B) 3,2%. C) 68%. D) 132%. E) 168%. **Resposta:** A --- **3.** [P2] Uma academia de ginástica anunciou um reajuste de 15% na mensalidade. Se a mensalidade atual é R$ 200,00, qual será o novo valor? Escreva a multiplicação que você usou para chegar ao resultado com o fator multiplicativo. **Resposta esperada:** Fator multiplicativo para aumento de 15%: 1,15. Novo valor: 200 × 1,15 = R$ 230,00. --- **4.** [P3] Complete a tabela abaixo indicando o fator multiplicativo e o valor resultante em cada situação: | Situação | Valor original | Variação | Fator multiplicativo | Valor resultante | |---|---|---|---|---| | Desconto de 10% | R$ 80,00 | −10% | _____ | _____ | | Aumento de 30% | R$ 500,00 | +30% | _____ | _____ | | Desconto de 5% | R$ 1.200,00 | −5% | _____ | _____ | **Resposta esperada:** - Desconto 10%: fator 0,90 → R$ 72,00 - Aumento 30%: fator 1,30 → R$ 650,00 - Desconto 5%: fator 0,95 → R$ 1.140,00 --- [Sequence 6] ## Exercícios **1.** [I1] Em setembro, um comerciante colocou o seguinte cartaz em sua loja: *"Em outubro, compras à vista terão 40% de desconto no valor total."* Porém, ao abrir a loja no dia primeiro de outubro, esse comerciante havia remarcado os preços de todos os produtos, aumentando-os em 60%. Qual a variação no preço à vista de uma mercadoria qualquer no mês de outubro em relação ao preço de setembro? A) 4% mais barato. B) 20% mais barato. C) 24% mais caro. D) 4% mais caro. E) 20% mais caro. **Resposta:** A --- **2.** [P1] Joana encontrou na internet dois anúncios para o mesmo tênis que ela quer comprar: - **Loja A:** Preço original R$ 250,00, com desconto de 20%. - **Loja B:** Preço original R$ 210,00, com desconto de 5%. a) Calcule o preço final em cada loja usando fatores multiplicativos. Mostre a multiplicação. b) Qual loja oferece o menor preço final? A diferença entre os preços é de quanto? c) A Loja A anuncia: "Economize 20%!" Essa afirmação é verdadeira em termos de reais? Explique. **Resposta esperada:** - Loja A: 250 × 0,80 = R$ 200,00 - Loja B: 210 × 0,95 = R$ 199,50 - Loja B é mais barata por R$ 0,50. - A Loja A economiza 20% em relação ao próprio preço original (R$ 50,00), mas não necessariamente em comparação com outras lojas. --- **3.** [P2] A prefeitura de uma cidade anunciou um reajuste de 12% no IPTU (Imposto Predial e Territorial Urbano). A família de Dona Tereza pagava R$ 85,00 por mês. Ao mesmo tempo, a família recebeu um aumento salarial de 8%. a) Qual será o novo valor mensal do IPTU? Use o fator multiplicativo. b) Se a renda mensal da família era de R$ 3.400,00, qual será a nova renda após o aumento? c) Antes do reajuste, o IPTU representava que porcentagem da renda da família? E depois dos dois ajustes, que porcentagem passa a representar? O IPTU ficou mais ou menos "pesado" no orçamento da família? **Resposta esperada:** - a) 85 × 1,12 = R$ 95,20 - b) 3.400 × 1,08 = R$ 3.672,00 - c) Antes: 85/3.400 = 2,5%. Depois: 95,20/3.672 ≈ 2,59%. O IPTU ficou levemente mais pesado. --- **4.** [D1] O preço **p** de determinado produto aumentou 10%. Após esse aumento, um comprador obteve desconto de 10% no novo preço. Esse comprador pagou: A) 0,97**p** B) 0,98**p** C) 0,99**p** D) **p** E) 1,01**p** **Resposta:** C --- **5.** [D2] Pedro trabalha em uma cooperativa agrícola e precisa calcular os preços de venda após ajustes. Analise as situações abaixo e responda: A cooperativa comprou sacos de milho por R$ 48,00 cada. Para cobrir os custos de transporte, precisou aumentar o preço em 25%. Depois, para competir com outra loja, aplicou um desconto adicional de 10% sobre o novo preço. a) Qual é o preço de venda após o aumento de 25%? Escreva o fator multiplicativo utilizado. b) Qual é o preço final após o desconto de 10%? Escreva o fator multiplicativo utilizado. c) Qual fator multiplicativo único representaria as duas operações juntas? Como você chegou a esse valor? d) O preço final ficou acima ou abaixo do preço de compra original? Por quanto? **Resposta esperada:** - a) 48 × 1,25 = R$ 60,00 - b) 60 × 0,90 = R$ 54,00 - c) 1,25 × 0,90 = 1,125 → fator único. Aplicando: 48 × 1,125 = R$ 54,00. - d) Acima do original: 54 − 48 = R$ 6,00 a mais. [INTERACTIVE: d-rp | Escaneie para responder os exercícios desta seção na plataforma Teachy e receber correção automática com feedback detalhado] --- [Sequence 7] [chapter-section: Seu caminho] Você investigou como os fatores multiplicativos funcionam para calcular aumentos e descontos. Agora, escolha uma dessas formas de aprofundar o que aprendeu: **(a) Pesquisa no cotidiano:** Procure em sites de lojas, supermercados ou aplicativos de compras três produtos com desconto anunciado. Para cada um, identifique o fator multiplicativo correspondente e calcule o preço final. Há alguma oferta que parece vantajosa mas, na prática, não é tanto assim? Compartilhe sua análise com a turma. **(b) Criação de problema:** Invente uma situação-problema realista envolvendo aumento e desconto percentual (pode ser um salário, um produto, uma taxa). Escreva o enunciado, resolva usando fatores multiplicativos e explique por que o resultado surpreende quem não conhece esse método. **(c) Planilha investigativa:** Em dupla, criem uma planilha no computador (Google Sheets, LibreOffice ou Excel) em que o usuário digita um valor original e uma porcentagem de aumento ou desconto, e a planilha calcula automaticamente o fator multiplicativo e o valor resultante. Testem com diferentes valores e apresentem o que descobriram.